Soalan KBAT
Soalan KBAT: Penggunaan Terbaik Panjang Tetap
Soalan KBAT tentang memagar luas maksimum dengan panjang tetap.
Ungkap luas dengan satu pemboleh ubah
Panjang pagar tetap mengelilingi segi empat tepat pada dinding. Tulis luas sebagai fungsi satu sisi.
Baca maksimum
Sempurnakan kuasa dua untuk mencari titik pusingan. Semak jawapan menepati panjang tetap.
Fahami masalah
Satu pengoptimuman asli. Seorang petani ada 60 m pagar untuk mengurung kandang segi empat tepat, menggunakan dinding lurus sebagai satu sisi panjang jadi tiada pagar diperlukan di situ.
Tugasnya luas terbesar mungkin. Panjang tetap dengan luas maksimum menunjuk ke arah menulis luas sebagai kuadratik dalam satu pemboleh ubah, kemudian mencari titik tertingginya.
Rancang dan selesaikan
- Biarkan dua sisi berserenjang dengan dinding masing-masing x m; sisi selari dengan dinding ialah (60 − 2x) m.
- Luas A = x(60 − 2x) = 60x − 2x².
- Kuadratik ini membuka ke bawah, jadi maksimumnya pada x = −b ÷ 2a = −60 ÷ (2 × −2) = 15.
- Maka sisi selari = 60 − 2(15) = 30 m, dan A = 15 × 30 = 450 m².
Semak dan satu variasi
Semak pagar digunakan: 15 + 15 + 30 = 60 m, tepat yang petani ada, dan 450 m² ialah luas segi empat tepat 15 dengan 30. Satu variasi: buang dinding jadi semua empat sisi perlu pagar.
Maka 2(x + y) = 60, x + y = 30, dan luas terbesar ialah segi empat sama 15 dengan 15 = 225 m². Bersandar pada dinding menggandakan luas boleh guna, keputusan kemas yang berbaloi dinyatakan.
Soalan lazim
Mengapa luas menjadi kuadratik?
Kerana luas ialah panjang darab lebar, dan pagar tetap membolehkan anda tulis satu dimensi dari segi yang lain. Penggantian menukar 'panjang × lebar' kepada ungkapan dengan sebutan kuasa dua, seperti 60x − 2x².
Kuadratik ada satu titik tertinggi atau terendah, iaitu tepat luas maksimum yang dicari soalan.
Bagaimana saya cari maksimum tanpa kalkulus?
Guna bucu kuadratik. Untuk A = ax² + bx + c, titik pusingan pada x = −b ÷ 2a, dan kerana pekali x² di sini negatif, lengkung memuncak di situ.
Gantikan x itu semula untuk dapat luas maksimum. Penyempurnaan kuasa dua beri titik pusingan sama jika anda suka kaedah itu.
Adakah menggunakan dinding benar-benar ubah jawapan?
Ya, banyak. Dengan satu sisi tanpa pagar anda belanjakan semua pagar pada tiga sisi, jadi luas terkurung lebih besar, 450 m² di sini berbanding 225 m² bagi kandang empat sisi dengan 60 m sama.
Menyedari dinding membuang satu sisi daripada persamaan perimeter ialah langkah pemodelan utama.