KBAT 题
KBAT 题：固定长度的最佳利用
一道 KBAT 题，用固定长度围出最大面积。
用一个变量表示面积
固定长度的围栏靠墙围出矩形。用固定长度把面积写成一条边的函数，它成为一个二次式。
读出最大值
用配方法求顶点，得到最大面积的边长及面积本身。检验答案符合固定长度。
理解题目
一个原创优化题。农夫有 60 m 围栏要围一个矩形栏，一条长边用一堵直墙，所以那边不用围栏。
任务是最大面积。固定长度求最大面积，指向把面积写成单变量的二次式，再找它的最高点。
规划与求解
- 设与墙垂直的两条边各为 x m；与墙平行的边为 (60 − 2x) m。
- 面积 A = x(60 − 2x) = 60x − 2x²。
- 此二次式开口向下，故最大值在 x = −b ÷ 2a = −60 ÷ (2 × −2) = 15。
- 则平行边 = 60 − 2(15) = 30 m，A = 15 × 30 = 450 m²。
检验与一个变式
检验所用围栏：15 + 15 + 30 = 60 m，正是农夫拥有的，且 450 m² 是 15 乘 30 矩形的面积。变式：去掉墙，四条边都要围栏。
则 2(x + y) = 60，x + y = 30，最大面积是 15 乘 15 的正方形 = 225 m²。靠墙使可用面积翻倍，一个值得写出的漂亮结论。
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常见问题
为什么面积会变成二次式？
因为面积是长乘宽，而固定围栏让你能用一个维度表示另一个。代入把“长 × 宽”变成含平方项的表达式，如 60x − 2x²。
二次式有唯一的最高或最低点，正是题目所求的最大面积。
不用微积分怎么求最大值？
用二次式的顶点。对 A = ax² + bx + c，转折点在 x = −b ÷ 2a，而这里 x² 系数为负，曲线在那里达到峰值。
把该 x 代回即得最大面积。若你偏好配方法，也会得到同一转折点。
用墙真的会改变答案吗？
会，而且差很多。有一边免费，你就把全部围栏用在三条边上，围出的面积更大，这里 450 m²，而同样 60 m 的四边栏只有 225 m²。
认出墙把一条边从周长方程里去掉，是关键的建模步骤。