SPM 数学：如何掌握组合事件的概率

当两个事件都必须发生（且）时，把它们的概率相乘；当任一个发生即可（或）时，把它们相加。要注意的是，只有当事件互斥时相加才干净利落；如果两者可以同时发生，你必须减去重叠部分。

从题目措辞判断“且还是或”，几乎是每道题的第一步。

独立事件互不影响（硬币不会记得上一次的投掷），而相依事件会，“不放回”地取第二个球会改变第二个概率。树状图把各分支铺开，让你沿一条路径相乘、在不同路径之间相加，而无需猜测。

画起来较慢，但在考试压力下安全得多。

许多组合事件的题目涉及取物，从袋中取球、从一副牌中抽卡，而第一次取出的物件是否放回，会影响之后所有的概率。有放回的情况下，每次取物时物件总数保持不变，因此树状图后续分支的概率与第一次相同。

无放回的情况下，取出的物件不会放回去，所以总数减少一个，被取走的那一类数量也减少一个，这意味着第二次取物的分支会因第一次的结果而不同。这是这个单元失分最常见的原因：学生把第一次取物的分数直接照搬到第二次，而没有做调整。

画树状图之前，先判断并写下这是有放回还是无放回的情况，然后重新计算第一次之后每个分支的分母和相关分子。例如，一个袋子里有5个红球和3个蓝球，总共8个球。

如果无放回地取两个球，第一次取到红球的概率是5/8；如果第一次取到的是红球，那么剩下的7个球中只有4个红球和3个蓝球，所以第二次也取到红球的概率变成4/7，而不再是5/8。这种小小的数字核对，写下每种颜色剩下多少个、每次取球后总数剩下多少个，是在继续计算之前，确认树状图是否正确的最快方法。

遇到要求“至少一次”成功结果的多次试验题目，反过来想往往更简单。直接计算“至少一次”通常需要把好几种情况加起来，恰好一次、恰好两次，等等，既慢又容易出错。

更好的做法是先算出在所有试验中该事件完全不发生的概率，再用1减去这个值。这是因为“至少一次”和“一次都没有”涵盖了所有可能的结果，两者的概率加起来必定等于1。

这个捷径在涉及三次或以上独立试验的组合事件题目中特别有用，因为逐一列出每种成功组合手动计算会耗费太多时间。看到“至少一次”这个说法时，先想到用互补的方法，而不是直接硬算，能在最赶时间的题目上省下宝贵的时间。