SPM 数学：如何掌握二次函数与方程

二次式有三种解法，因式分解、求根公式、配方法，各自适合不同的任务。因式分解在可行时最快；公式永远可用；配方法能揭示最大最小问题的顶点。

知道该用哪一个，就掌握了一半。

二次式可能藏在关于最大面积的 KBAT 题里、藏在图形题里、藏在真实情境的应用题里。这正是为什么这一章值得下功夫：它不是学完就忘的课题，而是你一直会用的工具。

二次不等式题目要求求出使某个二次表达式为正、为负，或受某个值限制的x的范围，而最快也最可靠的方法，永远是靠草图，而不是单靠代数运算。一旦你找到抛物线与x轴相交的位置，也就是用因式分解或求根公式得到的那两个根，就把这两点标在一张简单的草图上，并根据a的正负判断曲线是开口向上还是向下。

接下来从草图读出不等式几乎是机械式的：对开口向上的抛物线，表达式在两根之间为负、在两根之外为正；对开口向下的抛物线，则正好相反。这里最常见的两个错误，一是忘记当a为负数时方向要反过来，二是在写出范围时把两个根的顺序写反了(在“介于……之间”这类不等式中，较小的根永远写在前面)。

画一张简单的草图只需要几秒钟，却几乎能完全消除这两种错误，这正是为什么依靠图像，比单靠从方程推理符号更可靠。

二次函数图像题奖励的是能读懂方程的学生，而不是画十个点然后碰运气的学生。从配方式可以直接判断顶点位置，以及抛物线开口向上还是向下(取决于a的正负)。

从因式分解式可以立即看出x轴截距。y轴截距则永远就是c，直接从一般式读出。

把这三项信息，顶点、开口方向、与两轴的交点，结合起来，你就能在一分钟内画出相当准确的曲线，这正是第一卷所需要的速度，以及第二卷图表标注所需要的准确度。值得养成的习惯是用三种形式互相核对你的草图，而不是只信任其中一种：如果你因式分解得出的根，和配方顶点算出的对称轴对不上，说明其中一次运算出错了，在这里发现错误远比考场上才发现要划算得多。

判别式 b² − 4ac 能在不解方程的情况下，告诉你一个二次方程有多少个实根，正数表示两个不同的实根，零表示一个重根，负数表示没有实根。这听起来像个小知识点，但它正是SPM一类反复出现的题型背后的工具：“求k的取值范围，使方程有两个不同的实根”或“证明对所有k值，方程都没有实根”。

这些题目本质上是披着二次方程外衣的不等式问题。列出判别式的条件，代入题目给出的表达式，再解出关于k的不等式，到这一步，二次方程部分的工作其实已经完成了。

学生在这部分丢分，往往不是因为代数运算出错，而是误读了题目要求的条件：“不同的根”需要严格大于零，“相等的根”需要恰好等于零，把这两者混淆是这部分完全可以避免却很常见的失误。