SPM 数学：理解统计与离散量度

平均值、中位数与众数描述数据位于何处；全距、四分位距与标准差描述它有多分散。SPM 常给两组平均值相同的数据，问哪组更稳定，答案总是关于分散，而满分需要用文字解读。

在中五，数据是分组的，累积频数画成累积频率曲线，用内插读出中位数与四分位数。准确画线、仔细读取，就是得分与失分之处。

SPM有一种反复出现、且不太费力的题型，询问当数据集中的每一个数值都以相同方式改变时，每个数值都加上一个固定的量，或每个数值都乘以一个固定的量，平均数和标准差会发生什么变化。这两种改变的效果截然不同，牢记这个区别能让你省去从头重新计算的麻烦。

给每个数值都加上同一个常数，会使平均数移动同样的常数，但标准差完全不变，因为每个数值都移动了相同的量，彼此之间的离散程度和原来完全一样。把每个数值都乘以同一个常数，则会让平均数和标准差都按这个常数等比例缩放，因为离散程度本身也会随着数值一起被拉伸或压缩。

典型题目会给出原始的平均数和标准差，描述对数据施加的变化，然后直接要求新的数值，不需要完整重新计算，只要把这两条规则分清楚，不要把乘法的规则误用在加法的情形上，而这正是这部分最常见的失误。

分组数据的计算遵循固定且可重复的流程，正因如此，开头的小失误会不知不觉地拖垮后面所有的计算。两个最常见的错误是：求组距时用了组界而不是组限，以及在题目单独询问组中点时读错了组中点栏的数值。

由于分组数据的平均数、方差和标准差全都建立在组中点与频数表之上，表格前面一个错误的组中点会把后面所有答案一并带偏，即使整个方法本身完全正确。解决办法是养成习惯，而不是抄捷径：在进行任何进一步计算之前，完整写出组中点和累积频数栏，并对照原始组界逐一核对。

这大概只需要三十秒，却比事后重做整张表格划算得多。

大多数学生知道累积次数图(ogive)在累积频数一半的位置能读出中位数，但第二卷经常要求的不止这一个数值，四分位距、某一点以上或以下的数据个数，或落在指定区间内的数据百分比。这些都用同样的方法读取：在纵轴上找到相关的累积频数值，横向追踪到曲线，再往下读出横轴上对应的数据值；若题目给出数据值而要求累积频数，则反过来操作。

四分位距特别需要两次独立的读数，上四分位数的位置和下四分位数的位置，最后再相减，而在正确求出两个数值之后忘记相减，是一种在原本答得不错的题目上，意外丢掉最后一分的常见情况。