KBAT 题
KBAT 题：哪组数据更稳定？
一道 KBAT 分组数据题，从两张频数表计算并比较分散。
从分组数据估计
对分组数据，用组中点估计平均值，从累积频率曲线的四分位距读取分散。
按分散判断
平均值相近的两组，分散可能差别很大。四分位距更小的一组更稳定。
理解题目
一个原创的分组数据比较。两个班考同一份试卷，各 26 人，平均分都是 50，用组中点 10、30、50、70、90。
A 班频数为 2、6、10、6、2；B 班为 1、5、14、5、1。平均数相等并不说明一致性，所以题目真正问的是离散程度，哪个班的分数更紧密地聚在平均数周围。
规划与求解
- 确认两个平均数：Σfx ÷ Σf = 1300 ÷ 26 = 50，两班相同。
- 对 50 的偏差为 −40、−20、0、+20、+40，故偏差平方为 1600、400、0、400、1600。
- A 班：Σf(x−x̄)² = 2(1600)+6(400)+0+6(400)+2(1600) = 11,200；方差 = 11,200 ÷ 26 ≈ 430.8；标准差 = √430.8 ≈ 20.8。
- B 班：Σf(x−x̄)² = 1(1600)+5(400)+0+5(400)+1(1600) = 7,200；方差 = 7,200 ÷ 26 ≈ 276.9；标准差 = √276.9 ≈ 16.6。
- 比较：B 班标准差（16.6）小于 A 班（20.8），所以 B 班更一致。
检验与一个变式
用另一条方差公式 Σfx² ÷ Σf − x̄² 检验：A 班 Σfx² = 76,200，故 76,200 ÷ 26 − 50² = 2930.8 − 2500 = 430.8，方差相同，运算成立。变式：考官要你改用四分位距而非标准差来比较，或往 B 班放一个偏高的离群值，看你的结论是否还站得住。
方法，量化离散再判断，始终不变。
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常见问题
两组平均数相同，为何还要比离散？
因为平均数只告诉你中心，不说明结果有多参差。两个班可以都平均 50，一个分数密集在 50 附近，另一个从 10 到 90 散开。
一致性讲的是离散，所以用全距、四分位距、方差或标准差来衡量。
该用哪种离散度指标？
用题目指定的那种。标准差用到每个数值，是“一致性”常用的选择；四分位距对单个极端分数更稳健。
若某组有离群值，可提到四分位距比较更公平。始终写明你的结论依据的是哪种指标。
标准差越小代表成绩越好吗？
不，它代表结果更一致，不是更高。一个班可以稳定地低。
标准差衡量数值围绕自身平均数聚得多紧，所以判断表现时要与平均数一起看。这里两个平均数相等，故较小的离散公平地显示哪个班更稳定。