KBAT 题
KBAT 题：用矩阵求解
一道 KBAT 题，把两个真实条件变成联立方程，再用逆矩阵求解。
建立方程
一家店卖两种票，已知售出总数与总收入。这给出两个二元方程，写成一个矩阵方程。
使用逆矩阵
求 2×2 系数矩阵的逆（因行列式不为零而存在），相乘得到未知数。考试提供逆矩阵公式。
理解题目
一家电影院以固定价格售成人票和儿童票。一次，3 张成人票和 2 张儿童票花 RM 34；另一次，1 张成人票和 4 张儿童票花 RM 28。
求每种票价。真正要问的是：把两个真实条件变成联立方程，再用逆矩阵法而非消元法求解。
规划并求解
- 设 a 为成人票价，c 为儿童票价。条件给出 3a + 2c = 34 和 a + 4c = 28。
- 写成矩阵方程：[[3, 2], [1, 4]] [a; c] = [34; 28]。
- 行列式为 3×4 − 2×1 = 10，不为零，故逆矩阵存在：(1/10)[[4, −2], [−1, 3]]。
- 相乘：[a; c] = (1/10)[[4, −2], [−1, 3]][34; 28] = (1/10)[136 − 56; −34 + 84] = (1/10)[80; 50] = [8; 5]。故成人 = RM 8，儿童 = RM 5。
检验与一个变式
代回检验：3(8) + 2(5) = 24 + 10 = 34，8 + 4(5) = 8 + 20 = 28，两个条件都成立。考官可加的变式：用票价求 5 张成人票和 3 张儿童票的花费，即 5(8) + 3(5) = RM 55。
另一个变式是行列式为零的情形，意味着两个条件矛盾、无唯一解，很能考查理解。
预约试课一小时付费试课 · 当天回复 · 每小时RM50起
常见问题
既然消元法也能解，为什么用矩阵法？
因为考题明确要求用矩阵法，并为逆矩阵步骤给分。消元法能得到同样答案，但在这里拿不到分。
题目指定方法时就要用它：构造矩阵、算行列式与逆、相乘，各自都是别的方法拿不到的分。
行列式为零是什么意思？
行列式为零意味着矩阵没有逆，所以矩阵法无法给出唯一解。在票价类问题里，它表明两个条件其实是同一条线或彼此矛盾，因此要么无解、要么有无穷多解。
求逆之前务必先算行列式。
逆矩阵公式是给的，还是必须背？
2×2 矩阵的逆公式印在试卷二公式表上，所以不必背，尽管记住能省时间。你的分数来自准确运用：交换主对角线、把另一对角线取负、除以行列式，再仔细相乘。