KBAT 题
KBAT 题：两阶段概率
一道 KBAT 题，两个事件先后发生，用树形图整理结果。
独立与否？
从袋中取两个球。若第一个放回，第二次抽取概率不变；否则会变。
抽树之前判断“放回或不放回”是关键。
沿路相乘，跨路相加
在树形图上，沿每条分支把概率相乘得到最终结果，再把满足问题的结果相加。
理解题目
袋里有 3 红 2 蓝，共五个。不放回地先后取两个弹珠。
求得到每色各一的概率。真正要问的是：先判断两次抽取不独立，因为不放回第一个弹珠会改变第二次抽取的概率，这个判断决定了整棵树。
规划并求解
- 不放回时，取走一个后只剩 4 个，所以第二个分母是 4，不是 5。
- 画树。红后蓝的路径：3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10。
- 蓝后红的路径：2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10。
- 每色各一是任一条路径，故相加：3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5。
检验与一个变式
用补集检验：P（两红） = 3/5 × 2/4 = 3/10，P（两蓝） = 2/5 × 1/4 = 1/10，所以 P（同色） = 4/10 = 2/5，每色各一 = 1 − 2/5 = 3/5，吻合。考官可加的变式：改为放回抽取。
则每次抽取分母为 5，P（每色各一） = 2 × (3/5 × 2/5) = 12/25，答案不同，证明独立性判断很关键。
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常见问题
我怎么判断事件是否独立？
想想第一个结果是否改变第二个的概率。放回时袋子复原，两次抽取独立，分母不变。
不放回时数量改变，故相依。画树前先在题目里找“放回”或“保留”之类的词，因为其余一切都取决于它。
为什么沿分支相乘、但在路径之间相加？
沿一条分支相乘，因为两个阶段必须依次发生，“且”意味着相乘。在不同路径之间相加，因为它们是达到同一总结果的不同方式，“或”意味着相加。
把“且乘、或加”这条规则记清，正是树形图所考的核心技能。
我能一直用补集来检查概率答案吗？
常常可以，而且是个好习惯。若结果能整齐分成你的事件与其补集，算出补集再用 1 减去，就得到独立的检验。
这里同色加每色各一必须合计为 1，确实如此。若两条求解路径不一致，你就找到了要修正的错误。