BM
Tempah Kelas Percubaan

Pemodelan Matematik · Tingkatan 5

Pemodelan Matematik: Soalan Latihan

Soalan latihan gaya SPM asli untuk Pemodelan Matematik, setiap satu dengan penyelesaian penuh, aneka pilihan Kertas 1 dan berstruktur Kertas 2.

Ditulis oleh pasukan editorial spmmath.com.my.

Soalan latihan asli untuk Pemodelan Matematik, dalam gaya Matematik Kertas 1 (Objektif) dan Matematik Kertas 2 (Subjektif). Setiap jawapan diselesaikan supaya anda boleh menyemak kaedah anda.

Aneka pilihan (gaya Kertas 1)

Soalan 1

Sebuah syarikat teksi mengenakan bayaran mula RM4 campur RM1.50 bagi setiap kilometer perjalanan. Jika jumlah bayaran ialah RM C untuk perjalanan sejauh x km, antara berikut yang manakah model yang betul?

  1. A. C = 4 + 1.5x
  2. B. C = 1.5 + 4x
  3. C. C = 4x + 1.5
  4. D. C = 5.5x

Soalan 2

Menggunakan model C = 4 + 1.5x, berapakah jumlah bayaran bagi perjalanan sejauh 10 km?

  1. A. RM15
  2. B. RM19
  3. C. RM17.50
  4. D. RM55

Soalan 3

Sebuah batas bunga berbentuk segi empat tepat mempunyai panjang yang 3 m lebih daripada lebarnya. Jika lebarnya ialah x m, model manakah memberikan luas A dalam m²?

  1. A. x² + 3x
  2. B. x² + 3
  3. C. 3x²
  4. D. x² + 9x

Soalan 4

Ketinggian sebiji bola, h meter, t saat selepas ditendang ke atas dimodelkan oleh h = 20t − 5t². Berapakah ketinggian maksimum yang dicapai?

  1. A. 15 m
  2. B. 25 m
  3. C. 20 m
  4. D. 40 m

Soalan 5

Bagi model yang sama h = 20t − 5t², selepas berapa saat bola itu kembali ke tanah (h = 0)?

  1. A. 2 s
  2. B. 4 s
  3. C. 5 s
  4. D. 8 s

Soalan 6

Satu pelan telefon bulanan dimodelkan oleh C = 30 + 0.10m, dengan C ialah kos dalam RM dan m ialah bilangan minit panggilan. Jika bilnya RM55, berapakah minit yang digunakan?

  1. A. 250 minit
  2. B. 220 minit
  3. C. 350 minit
  4. D. 850 minit

Soalan 7

Untuk menjadikan batas bunga dalam Soalan 3 mempunyai luas 40 m², persamaan x² + 3x − 40 = 0 memberikan x = 5 atau x = −8. Penyelesaian yang manakah ditolak dan mengapa?

  1. A. x = −8, kerana lebar tidak boleh negatif
  2. B. x = 5, kerana ia terlalu kecil
  3. C. x = −8, kerana luas menjadi negatif
  4. D. x = 5, kerana ia nombor ganjil

Soalan 8

Sebuah tangki air disalirkan pada kadar tetap. Isi padunya dimodelkan oleh V = 500 − 25t, dengan V dalam liter dan t dalam minit.

Selepas berapa minit tangki itu kosong?

  1. A. 12.5 minit
  2. B. 20 minit
  3. C. 25 minit
  4. D. 475 minit

Soalan 9

Keuntungan harian sebuah gerai dimodelkan oleh P = −2x² + 40x − 150, dengan P dalam RM dan x ialah harga jualan dalam RM. Harga jualan manakah memberikan keuntungan maksimum?

  1. A. RM5
  2. B. RM10
  3. C. RM20
  4. D. RM40

Soalan 10

Bagi model keuntungan P = −2x² + 40x − 150, pada harga jualan manakah gerai itu pulang modal (P = 0)?

  1. A. RM5 dan RM15
  2. B. RM10 dan RM15
  3. C. RM3 dan RM25
  4. D. RM5 dan RM30

Berstruktur (gaya Kertas 2)

Soalan 1 (6 markah)

Seorang petani membina reban ayam berbentuk segi empat tepat bersandar pada sebuah dinding lurus yang panjang. Dinding itu menjadi satu sisi, dan 24 m pagar digunakan untuk tiga sisi yang lain.

Biar lebar (setiap sisi yang berserenjang dengan dinding) ialah x m. (a) Tunjukkan bahawa luas dimodelkan oleh A = 24x − 2x².

[2] (b) Cari nilai-nilai x apabila luas ialah 70 m². [3] (c) Nyatakan panjang reban bagi setiap nilai x.

[1]

  1. Sisi yang selari dengan dinding menggunakan baki pagar: 24 − 2x meter.
  2. Luas = lebar × panjang = x(24 − 2x) = 24x − 2x², seperti dikehendaki.
  3. Tetapkan 24x − 2x² = 70, yang disusun semula menjadi 2x² − 24x + 70 = 0.
  4. Bahagi seluruhnya dengan 2: x² − 12x + 35 = 0, kemudian faktorkan: (x − 5)(x − 7) = 0.
  5. Jadi x = 5 atau x = 7; kedua-duanya panjang positif, jadi kedua-duanya diterima.
  6. Apabila x = 5, panjang = 24 − 2(5) = 14 m; apabila x = 7, panjang = 24 − 2(7) = 10 m.

Soalan 2 (5 markah)

Dua pelan data mudah alih dikenakan bayaran berdasarkan data tambahan yang digunakan melebihi kuota. Bagi x GB data tambahan, Pelan A berkos RM CA = 40 + 5x dan Pelan B berkos RM CB = 55 + 2x.

(a) Cari jumlah data tambahan apabila kos kedua-dua pelan sama. [3] (b) Tentukan pelan yang lebih murah apabila 8 GB data tambahan digunakan, dan bezanya berapa.

[2]

  1. Samakan kedua-dua model: 40 + 5x = 55 + 2x.
  2. Kumpul sebutan serupa: 5x − 2x = 55 − 40, jadi 3x = 15.
  3. Selesaikan: x = 5, jadi kos kedua-dua pelan sama pada 5 GB data tambahan.
  4. Pada x = 8: CA = 40 + 5(8) = RM80 dan CB = 55 + 2(8) = RM71.
  5. Oleh sebab RM71 < RM80, Pelan B lebih murah sebanyak RM80 − RM71 = RM9.

Soalan 3 (7 markah)

Sebiji batu dilontar ke atas dari puncak sebuah bangunan setinggi 30 m. Ketinggiannya dari atas tanah, h meter, t saat selepas dilontar dimodelkan oleh h = 30 + 5t − 5t².

(a) Cari ketinggian batu itu selepas 2 saat. [1] (b) Cari masa untuk mencapai ketinggian maksimum, dan ketinggian maksimum itu.

[3] (c) Cari masa apabila batu itu jatuh ke tanah. [3]

  1. (a) Gantikan t = 2: h = 30 + 5(2) − 5(2²) = 30 + 10 − 20 = 20 m.
  2. (b) Ketinggian maksimum berlaku pada t = −b/(2a) = −5/(2×−5) = 0.5 s.
  3. Gantikan t = 0.5: h = 30 + 5(0.5) − 5(0.5²) = 30 + 2.5 − 1.25 = 31.25 m.
  4. (c) Batu jatuh ke tanah apabila h = 0: 30 + 5t − 5t² = 0.
  5. Bahagi seluruhnya dengan −5: t² − t − 6 = 0, kemudian faktorkan: (t − 3)(t + 2) = 0.
  6. Jadi t = 3 atau t = −2; tolak t = −2 kerana masa tidak boleh negatif, memberikan t = 3 s.

Soalan 4 (6 markah)

Sebuah kedai roti mendapati bahawa apabila harga sebiji kek ialah RM p, bilangan kek yang terjual dalam sehari dimodelkan oleh n = 120 − 4p. (a) Tunjukkan bahawa hasil jualan harian ialah R = 120p − 4p².

[2] (b) Cari harga yang memberikan hasil maksimum. [2] (c) Cari hasil maksimum, dan sahkannya menggunakan bilangan kek yang terjual pada harga itu.

[2]

  1. (a) Hasil = harga × kuantiti = p × n = p(120 − 4p) = 120p − 4p².
  2. (b) Maksimum bagi kuadratik ialah pada p = −b/(2a) = −120/(2×−4) = RM15.
  3. (c) Gantikan p = 15: R = 120(15) − 4(15²) = 1800 − 900 = RM900.
  4. Semak: pada p = 15, n = 120 − 4(15) = 60 biji kek, jadi R = 15 × 60 = RM900, yang sepadan.

Sumber:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)

Tempah Kelas PercubaanPercubaan berbayar 1 jam · Balasan hari yang sama · dari RM50/jam

Soalan lazim

Apakah perbezaan antara latihan Kertas 1 (aneka pilihan) dan Kertas 2 (struktur) bagi pemodelan matematik?

Soalan Kertas 1 menguji sama ada anda boleh membina model dengan pantas dan memilih persamaan atau graf yang betul daripada pilihan jawapan, selaras dengan format objektif 1449/1. Soalan Kertas 2 pula memerlukan anda membina model penuh langkah demi langkah dan menunjukkan kerja kira, seperti dikehendaki dalam 1449/2.

Mengapakah saya perlu cuba jawab soalan pemodelan matematik sendiri sebelum menyemak penyelesaian berpandu?

Cuba selesaikan soalan sendiri dahulu menunjukkan dengan tepat di mana model anda tersasar, andaian yang salah, pemboleh ubah yang tertinggal, atau kesilapan pengiraan. Menyemak penyelesaian terlalu awal melangkau proses diagnosis ini, jadi kesilapan yang sama akan berulang dalam soalan pemodelan matematik seterusnya.

Apakah kesilapan biasa pelajar dalam soalan pemodelan matematik?

Pelajar sering tersilap mengenal pasti pemboleh ubah bersandar, terlupa menyatakan andaian, atau membundarkan nombor terlalu awal sehingga kesilapan itu berterusan sepanjang model. Ada juga yang berhenti sebaik mendapat satu persamaan tanpa menyemak sama ada ia benar-benar sepadan dengan data yang diberikan.

Tempah Kelas Percubaan

Tempah Kelas Percubaan
Percubaan berbayar 1 jam · Balasan hari yang samadari RM50/jam
Tempah Kelas Percubaan