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数学建模 · 中五

数学建模：练习题

数学建模 的原创 SPM 风格练习题，每题附完整解答，试卷一选择题与试卷二结构题。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

数学建模 的原创练习题，仿 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 的风格。每题都有解答，方便你检查方法而不只是结果。

选择题（试卷一风格）

题 1

某德士公司收取起步费 RM4，外加每公里 RM1.50。若行程 x 公里的总收费为 RM C，下列哪一个是正确的模型？

  1. A. C = 4 + 1.5x
  2. B. C = 1.5 + 4x
  3. C. C = 4x + 1.5
  4. D. C = 5.5x

题 2

利用模型 C = 4 + 1.5x，行程 10 公里的总收费是多少？

  1. A. RM15
  2. B. RM19
  3. C. RM17.50
  4. D. RM55

题 3

一个矩形花圃的长比宽多 3 米。若宽为 x 米，哪个模型给出面积 A（平方米）？

  1. A. x² + 3x
  2. B. x² + 3
  3. C. 3x²
  4. D. x² + 9x

题 4

一个球被向上踢出后，t 秒时的高度 h 米由 h = 20t − 5t² 建模。所达到的最大高度是多少？

  1. A. 15 米
  2. B. 25 米
  3. C. 20 米
  4. D. 40 米

题 5

对于同一模型 h = 20t − 5t²，经过多少秒后球回到地面（h = 0）？

  1. A. 2 秒
  2. B. 4 秒
  3. C. 5 秒
  4. D. 8 秒

题 6

某手机月配套由 C = 30 + 0.10m 建模，其中 C 是费用（RM），m 是通话分钟数。若账单为 RM55，用了多少分钟？

  1. A. 250 分钟
  2. B. 220 分钟
  3. C. 350 分钟
  4. D. 850 分钟

题 7

要使第 3 题的花圃面积为 40 平方米，方程 x² + 3x − 40 = 0 得出 x = 5 或 x = −8。哪个解被舍去，为什么？

  1. A. x = −8，因为宽度不能为负
  2. B. x = 5，因为它太小
  3. C. x = −8，因为面积变成负数
  4. D. x = 5，因为它是奇数

题 8

一个水箱以稳定速率排水。其体积由 V = 500 − 25t 建模，V 以升计，t 以分钟计。

多少分钟后水箱排空？

  1. A. 12.5 分钟
  2. B. 20 分钟
  3. C. 25 分钟
  4. D. 475 分钟

题 9

某档口的每日利润由 P = −2x² + 40x − 150 建模，P 以 RM 计，x 是售价（RM）。哪个售价给出最大利润？

  1. A. RM5
  2. B. RM10
  3. C. RM20
  4. D. RM40

题 10

对于利润模型 P = −2x² + 40x − 150，档口在哪些售价下达到收支平衡（P = 0）？

  1. A. RM5 和 RM15
  2. B. RM10 和 RM15
  3. C. RM3 和 RM25
  4. D. RM5 和 RM30

结构题（试卷二风格）

题 1 (6 分)

一位农夫沿着一道笔直的长墙建造一个矩形鸡舍。墙作为一边，另外三边用 24 米的围栏。

设宽（每条与墙垂直的边）为 x 米。 (a) 证明面积可由 A = 24x − 2x² 建模。

[2] (b) 求当面积为 70 平方米时 x 的值。[3] (c) 说出每个 x 值对应的鸡舍长度。

[1]

  1. 与墙平行的一边使用剩余的围栏：24 − 2x 米。
  2. 面积 = 宽 × 长 = x(24 − 2x) = 24x − 2x²，即所求。
  3. 令 24x − 2x² = 70，整理得 2x² − 24x + 70 = 0。
  4. 整体除以 2：x² − 12x + 35 = 0，然后因式分解：(x − 5)(x − 7) = 0。
  5. 所以 x = 5 或 x = 7；两者都是正的长度，因此都被接受。
  6. 当 x = 5 时，长 = 24 − 2(5) = 14 米；当 x = 7 时，长 = 24 − 2(7) = 10 米。

题 2 (5 分)

两个移动数据配套按超出配额所用的额外数据收费。对于 x GB 额外数据，配套 A 费用为 RM CA = 40 + 5x，配套 B 费用为 RM CB = 55 + 2x。

(a) 求两个配套费用相同时的额外数据量。[3] (b) 判断使用 8 GB 额外数据时哪个配套更便宜，便宜多少。

[2]

  1. 令两个模型相等：40 + 5x = 55 + 2x。
  2. 整理同类项：5x − 2x = 55 − 40，所以 3x = 15。
  3. 求解：x = 5，即在 5 GB 额外数据时两个配套费用相同。
  4. 当 x = 8 时：CA = 40 + 5(8) = RM80，CB = 55 + 2(8) = RM71。
  5. 由于 RM71 < RM80，配套 B 便宜 RM80 − RM71 = RM9。

题 3 (7 分)

一块石头从一栋 30 米高的建筑物顶部向上抛出。抛出后 t 秒时它距地面的高度 h 米由 h = 30 + 5t − 5t² 建模。

(a) 求石头 2 秒后的高度。[1] (b) 求到达最大高度所需的时间，以及最大高度。

[3] (c) 求石头落地的时间。[3]

  1. (a) 代入 t = 2：h = 30 + 5(2) − 5(2²) = 30 + 10 − 20 = 20 米。
  2. (b) 最大高度出现在 t = −b/(2a) = −5/(2×−5) = 0.5 秒。
  3. 代入 t = 0.5：h = 30 + 5(0.5) − 5(0.5²) = 30 + 2.5 − 1.25 = 31.25 米。
  4. (c) 石头落地时 h = 0：30 + 5t − 5t² = 0。
  5. 整体除以 −5：t² − t − 6 = 0，然后因式分解：(t − 3)(t + 2) = 0。
  6. 所以 t = 3 或 t = −2；舍去 t = −2 因为时间不能为负，得 t = 3 秒。

题 4 (6 分)

一家面包店发现，当一个蛋糕的价格为 RM p 时，一天卖出的蛋糕数量由 n = 120 − 4p 建模。 (a) 证明每日销售收入为 R = 120p − 4p²。

[2] (b) 求给出最大收入的价格。[2] (c) 求最大收入，并用该价格下卖出的蛋糕数量加以验证。

[2]

  1. (a) 收入 = 价格 × 数量 = p × n = p(120 − 4p) = 120p − 4p²。
  2. (b) 二次式的最大值在 p = −b/(2a) = −120/(2×−4) = RM15。
  3. (c) 代入 p = 15：R = 120(15) − 4(15²) = 1800 − 900 = RM900。
  4. 验证：当 p = 15 时，n = 120 − 4(15) = 60 个蛋糕，所以 R = 15 × 60 = RM900，吻合。

资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)

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常见问题

数学建模练习中，第一卷选择题和第二卷结构题有什么不同？

第一卷(1449/1)选择题考查你能否迅速建立模型，并从选项中选出正确的方程式或图形，属于客观题形式。第二卷(1449/2)结构题则要求你逐步建立完整的模型，并清楚展示解题过程，这是主观题的作答要求。

为什么要先自己尝试解答数学建模题，再查看详解？

先自己动手解题，能清楚看出模型在哪个环节出错，是假设错误、遗漏变量，还是计算失误。若太早查看详解，就会跳过这个诊断过程，导致同样的错误在之后的建模题中不断重复出现。

学生在数学建模题中常犯的错误有哪些？

学生常常认错自变量与应变量，忘记写出假设条件，或过早四舍五入导致误差累积到整个模型中。也有些学生一得出方程式就停手，没有检查它是否真的符合题目给出的数据，而这往往是失分的地方。

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