数学建模

这最后一章把整门课串联起来。建模是一个循环：拿一个真实问题，用你已熟悉的方程、函数或图形表示它、求解，再解读答案是否合理。

它同时用到许多前面的章节。

建模题是全卷最开放的：一个真实情境，你必须自己把它译成数学。它奖励能连接各章的学生，看出一道文字题其实是二次式、是变化率或是变化，并且会解读答案，而不是停在一个数字。

建模题最难的部分几乎从来不是代数，而是把一段英文变成符号的第一步，仓促行事正是失分之处。计算任何东西之前，明确命名你的变量：写下每个字母代表什么及其单位，例如“设 V 为水的体积（升），t 为时间（分钟）”。

然后陈述模型所依据的假设，如“假设水龙头以恒定速率排水”。这两步做的是真功夫：清晰的变量能防止你搞混哪个数是哪个，陈述的假设告诉你模型何时适用。

评分员奖励这种铺垫，因为它显示你理解了情境，而不仅是算术，也让后面每一步更易写、更易检查。

建模借助你在前面章节已学过的函数，情境中的模式会告诉你该选哪一个。若一个量每一步变化相同的量，每分钟少 8 升、每笔销售赚 RM50，关系是线性的，形如 y = mx + c，其中 m 是恒定速率，c 是初始值。

若一个量每一步乘以固定倍数，或情境涉及面积、平方距离或转折点，则二次或指数形状更合适。从数值表快速判断的方法是看相邻输出之间的差：差恒定表示线性模型，而比值恒定表示反复相乘。

把观察到的模式匹配到你已学过的函数，通常比从零开始发明一个关系更快、更稳妥。

模型的好坏取决于它给出的答案，所以循环的最后一步是在确定之前把答案对照现实检查。三个快速检验能抓住大多数错误。

第一，单位：若你在求时间，答案是题目要的分钟还是秒，读起来合理吗？第二，大小：这个数大致是你预期的量级吗，还是小数点错位让水箱在 6 秒而非 60 秒排空？

第三，定义域：答案尊重情境的限制吗，时间和体积不能为负，人数必须是整数，而像 V = 500 − 8t 这样的模型只有在 V 保持大于等于零时才有意义，这里是 0 ≤ t ≤ 62.5。当题目让你“评论”或“解释”时，它要的正是这些判断：说出答案的含义、是否现实，以及模型在哪里失效。

这个例子在一个排水水箱情境上走完整的建模循环：建立模型、使用它，并判断它在哪里失效。