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数学建模 · 中五

数学建模：例题（KBAT）

本组给出完整的真实情境，模型藏在故事里：由收入减成本得出的利润、照片四周的边框，以及改变需求的价格。学生须自行建立模型、求解，并检验答案是否符合情境。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

一个委员会举办慈善晚宴。礼堂租金固定 RM800，每位来宾的餐费 RM25。

门票每张售 RM45。为 n 张门票的利润 RM P 建立模型，然后求（a）收支平衡所需的门票数，及（b）达到 RM1000 利润所需的门票数。

  1. 门票收入 = 45n。
  2. 总成本 = 固定租金 + 餐费 = 800 + 25n。
  3. 利润 = 收入 − 成本：P = 45n − (800 + 25n) = 20n − 800。
  4. （a）收支平衡即 P = 0：20n = 800，所以 n = 40。
  5. （b）要 P = 1000：20n − 800 = 1000，所以 20n = 1800，得 n = 90。

例题 2

一张 12 cm × 8 cm 的照片贴在长方形卡片上，四周有宽度均为 x cm 的边框。整张卡片面积为 192 cm²。

建立二次模型并求边框的宽度。

  1. 边框使每边各加 x，所以卡片长 = 12 + 2x，卡片宽 = 8 + 2x。
  2. 面积模型：(12 + 2x)(8 + 2x) = 192。
  3. 展开：96 + 40x + 4x² = 192。
  4. 整理：4x² + 40x − 96 = 0，再除以 4：x² + 10x − 24 = 0。
  5. 因式分解：(x + 12)(x − 2) = 0，所以 x = −12 或 x = 2；舍去 x = −12。
  6. 检验：(12 + 4)(8 + 4) = 16 × 12 = 192。✓

例题 3

一间民宿每晚收费 RM100，每月有 20 个订房。业主发现每晚价格每涨 RM10 就少 1 个订房。

以 x（涨价 RM10 的次数）为变量为每月营收 RM R 建立模型，然后求营收为 RM2250 时的价格。

  1. 新价格 = 100 + 10x，新订房数 = 20 − x。
  2. 营收 = 价格 × 订房数：R = (100 + 10x)(20 − x)。
  3. 展开：R = 2000 + 100x − 10x²。
  4. 令 R = 2250：2000 + 100x − 10x² = 2250。
  5. 整理：−10x² + 100x − 250 = 0，再除以 −10：x² − 10x + 25 = 0。
  6. 因式分解：(x − 5)² = 0，所以 x = 5。
  7. 价格 = 100 + 10(5) = RM150，订房数 20 − 5 = 15；150 × 15 = 2250。✓

例题 4

某剧院目前每张票售 RM30，每场售出 200 张票。票价每涨 RM2，就少售出 10 张票。

设 x 为涨价 RM2 的次数。(a) 用 x 建立收入 R（RM）的模型。

(b) 求收入为 RM6080 时的票价。

  1. (a) 新票价 = (30 + 2x)，售出票数 = (200 − 10x)，所以 R = (30 + 2x)(200 − 10x)。
  2. 展开：R = 6000 − 300x + 400x − 20x² = 6000 + 100x − 20x²。
  3. (b) 令 R = 6080：6000 + 100x − 20x² = 6080 → −20x² + 100x − 80 = 0 → x² − 5x + 4 = 0。
  4. 因式分解：(x − 1)(x − 4) = 0，所以 x = 1 或 x = 4；票价 = 30 + 2(1) = RM32 或 30 + 2(4) = RM38。

例题 5

一位农夫用 60 m 的围栏靠着一堵长直墙围出一个长方形围栏。墙充当一条长边，所以围栏只需围两条宽和一条长。

设宽为 x m。(a) 用 x 建立面积 A（m²）的模型。

(b) 求使面积最大的 x 值，并说明该最大面积。

  1. (a) 围栏包含两条宽和一条长：2x + 长 = 60，所以长 = 60 − 2x。
  2. 面积 A = x(60 − 2x) = 60x − 2x²。
  3. (b) 这是二次函数（a = −2），最大值在 x = −b/(2a) = −60/(2 × −2) = 15。
  4. 长 = 60 − 2(15) = 30 m，所以最大面积 = 15 × 30 = 450 m²。

例题 6

用一张 20 cm × 16 cm 的长方形卡纸，从每个角剪去一个边长 x cm 的正方形并折起四边，做成一个无盖盒子。(a) 用 x 建立体积 V（cm³）的模型。

(b) 求 x = 3 cm 时的体积，并说明能做成盒子的 x 取值范围。

  1. (a) 剪去边长 x 的角后，底面为 (20 − 2x) × (16 − 2x)，高为 x。
  2. 体积 V = x(20 − 2x)(16 − 2x)。
  3. (b) 代入 x = 3：V = 3(20 − 6)(16 − 6) = 3 × 14 × 10 = 420 cm³。
  4. 只有当每个尺寸都为正时盒子才存在：x > 0 且 16 − 2x > 0（较短边），所以 0 < x < 8。

例题 7

某动物园建造两个大小相同、彼此相邻的长方形围栏，中间共用一道隔栏，总共使用120米围栏。设y米为每个围栏的高（即三道平行栏各自的长度）,L米为总长度（两道外围栏的长度）。

(a) 写出以y表示围栏总面积A（平方米）的模型。(b) 求当总面积为450平方米时y的值。

  1. 围栏总长：3y + 2L = 120，所以L = (120−3y)/2 = 60 − 1.5y。
  2. 面积A = L × y = (60−1.5y)y = 60y − 1.5y²。
  3. 令A = 450:60y − 1.5y² = 450 → 两边乘以−2/3:y² − 40y + 300 = 0。
  4. 因式分解：(y−10)(y−30) = 0，所以y = 10或y = 30。
  5. 检验：y=10时L=45米（狭长布局）;y=30时L=15米（宽浅布局）。两者在几何上都成立。

例题 8

一个球从一座高20米的塔顶被向上抛出。如果它是从地面抛出的，抛出点以上获得的高度可用25t − 5t²（米）表示，t为经过的秒数。

(a) 写出h(t)的模型，表示从塔顶抛出时球离地面的高度。(b) 求球在2秒后的高度。

(c) 求球落地的时间，精确到小数点后两位。

  1. 离地高度 = 塔高 + 抛出获得的高度：h(t) = 20 + 25t − 5t²。
  2. 当t = 2时：h(2) = 20 + 25(2) − 5(2)² = 20+50−20 = 50米。
  3. 球落地时h(t) = 0:20+25t−5t² = 0 → 两边除以−5:t² − 5t − 4 = 0。
  4. 使用求根公式：t = [5 ± √(25+16)]/2 = [5 ± √41]/2 = [5 ± 6.403]/2。
  5. 取正根：t ≈ 11.403/2 ≈ 5.70秒（舍去负根）。

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

为什么数学建模的 KBAT 题目是这一章里最难的？

KBAT 题目很少直接告诉你该列什么方程，你得自己决定要为什么建模、自己选变量，而且常常要针对成本、时间、容量等实际约束，优化或评估好几个可能的模型。通常没有明显唯一的第一步，所以动笔之前先规划，比其他层次更重要。

考官在 KBAT 建模的答案里看重什么？

有理有据地选出变量和模型、写出每条方程是怎么从题目信息推导出来的，以及最后给出真正回答题目所问的评估或结论（而不只是一个数字）。得分同样看重推理过程，不只是最后算出的正确数值。

实力强的学生在 KBAT 建模题中容易踩中什么坑？

建立了一个数学上正确、却根本没回答题目所问的模型；忘记写出模型所依赖的假设；解出方程后就停手，没有把结果放回真实情境去解释。解完之后重新读一遍题目，检查答案是否真的回应了问题，能抓住大部分这类问题。

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