BM
Tempah Kelas Percubaan

Pemodelan Matematik · Tingkatan 5

Pemodelan Matematik: Contoh Berjawab (KBAT)

Set ini memberikan situasi sebenar yang lengkap dengan modelnya tersembunyi dalam cerita: keuntungan daripada pendapatan tolak kos, bingkai di sekeliling gambar, dan harga yang mengubah permintaan. Pelajar perlu membina model sendiri, menyelesaikannya, dan menyemak jawapan sesuai dengan situasi.

Ditulis oleh pasukan editorial spmmath.com.my.

Contoh berjawab 1

Sebuah jawatankuasa mengadakan majlis makan malam amal. Sewa dewan tetap RM800, dan makanan setiap tetamu berharga RM25.

Tiket dijual pada RM45 setiap satu. Bentukkan model untuk keuntungan RM P daripada n tiket, kemudian cari (a) bilangan tiket untuk pulang modal, dan (b) bilangan yang diperlukan untuk keuntungan RM1000.

  1. Pendapatan daripada tiket = 45n.
  2. Jumlah kos = sewa tetap + makanan = 800 + 25n.
  3. Keuntungan = pendapatan − kos: P = 45n − (800 + 25n) = 20n − 800.
  4. (a) Pulang modal bermakna P = 0: 20n = 800, jadi n = 40.
  5. (b) Untuk P = 1000: 20n − 800 = 1000, jadi 20n = 1800, memberi n = 90.

Contoh berjawab 2

Sekeping gambar berukuran 12 cm × 8 cm dilekatkan pada kad segi empat tepat supaya terdapat bingkai berlebar seragam x cm di sekelilingnya. Seluruh kad mempunyai luas 192 cm².

Bentukkan model kuadratik dan cari lebar bingkai itu.

  1. Bingkai menambah x pada setiap sisi, jadi panjang kad = 12 + 2x dan lebar kad = 8 + 2x.
  2. Model luas: (12 + 2x)(8 + 2x) = 192.
  3. Kembangkan: 96 + 40x + 4x² = 192.
  4. Susun semula: 4x² + 40x − 96 = 0, kemudian bahagi dengan 4: x² + 10x − 24 = 0.
  5. Faktorkan: (x + 12)(x − 2) = 0, jadi x = −12 atau x = 2; tolak x = −12.
  6. Semak: (12 + 4)(8 + 4) = 16 × 12 = 192. ✓

Contoh berjawab 3

Sebuah homestay mengenakan RM100 semalam dan mendapat 20 tempahan sebulan. Pemiliknya mendapati setiap kenaikan RM10 pada harga semalam mengurangkan 1 tempahan.

Bentukkan model untuk hasil bulanan RM R dalam sebutan x, iaitu bilangan kenaikan RM10, kemudian cari harga yang memberikan hasil RM2250.

  1. Harga baharu = 100 + 10x, dan tempahan baharu = 20 − x.
  2. Hasil = harga × tempahan: R = (100 + 10x)(20 − x).
  3. Kembangkan: R = 2000 + 100x − 10x².
  4. Tetapkan R = 2250: 2000 + 100x − 10x² = 2250.
  5. Susun semula: −10x² + 100x − 250 = 0, kemudian bahagi dengan −10: x² − 10x + 25 = 0.
  6. Faktorkan: (x − 5)² = 0, jadi x = 5.
  7. Harga = 100 + 10(5) = RM150, dengan 20 − 5 = 15 tempahan; 150 × 15 = 2250. ✓

Contoh berjawab 4

Sebuah teater kini menjual tiket pada harga RM30 setiap satu dan menjual 200 tiket setiap pertunjukan. Bagi setiap kenaikan RM2 pada harga tiket, 10 tiket kurang terjual.

Biar x ialah bilangan kenaikan RM2. (a) Bentukkan satu model untuk hasil R (dalam RM) dalam sebutan x.

(b) Cari harga tiket yang memberikan hasil RM6080.

  1. (a) Harga baharu = (30 + 2x) dan tiket terjual = (200 − 10x), jadi R = (30 + 2x)(200 − 10x).
  2. Kembangkan: R = 6000 − 300x + 400x − 20x² = 6000 + 100x − 20x².
  3. (b) Tetapkan R = 6080: 6000 + 100x − 20x² = 6080 → −20x² + 100x − 80 = 0 → x² − 5x + 4 = 0.
  4. Faktorkan: (x − 1)(x − 4) = 0, jadi x = 1 atau x = 4; harga = 30 + 2(1) = RM32 atau 30 + 2(4) = RM38.

Contoh berjawab 5

Seorang petani menggunakan 60 m pagar untuk memagari sebuah reban segi empat tepat bersandarkan sebuah tembok lurus yang panjang. Tembok itu menjadi satu sisi panjang, jadi pagar hanya diperlukan bagi dua lebar dan satu panjang.

Biar lebar ialah x m. (a) Bentukkan satu model untuk luas A (dalam m²) dalam sebutan x.

(b) Cari nilai x yang memberikan luas maksimum, dan nyatakan luas maksimum itu.

  1. (a) Pagar meliputi dua lebar dan satu panjang: 2x + panjang = 60, jadi panjang = 60 − 2x.
  2. Luas A = x(60 − 2x) = 60x − 2x².
  3. (b) Ini kuadratik (a = −2) dengan maksimum pada x = −b/(2a) = −60/(2 × −2) = 15.
  4. Panjang = 60 − 2(15) = 30 m, jadi luas maksimum = 15 × 30 = 450 m².

Contoh berjawab 6

Sebuah kotak terbuka dibuat daripada sekeping kad segi empat tepat berukuran 20 cm × 16 cm dengan memotong segi empat sama bersisi x cm yang sama dari setiap penjuru dan melipat sisinya. (a) Bentukkan satu model untuk isi padu V (dalam cm³) dalam sebutan x.

(b) Cari isi padu apabila x = 3 cm, dan nyatakan julat nilai x supaya kotak itu boleh dibuat.

  1. (a) Selepas memotong penjuru bersisi x, tapak berukuran (20 − 2x) × (16 − 2x) dan tingginya x.
  2. Isi padu V = x(20 − 2x)(16 − 2x).
  3. (b) Gantikan x = 3: V = 3(20 − 6)(16 − 6) = 3 × 14 × 10 = 420 cm³.
  4. Kotak wujud hanya apabila setiap dimensi positif: x > 0 dan 16 − 2x > 0 (sisi lebih kecil), jadi 0 < x < 8.

Contoh berjawab 7

Sebuah zoo membina dua kandang segi empat tepat yang sama saiz dan bersebelahan, berkongsi satu pagar pembahagi, menggunakan jumlah 120 m pagar. Katakan y m ialah tinggi setiap kandang (panjang setiap satu daripada tiga pagar selari) dan L m ialah jumlah panjang (dua pagar luar).

(a) Bentukkan model bagi jumlah luas kandang A (m²) dalam sebutan y. (b) Cari nilai y supaya jumlah luas ialah 450 m².

  1. Jumlah pagar: 3y + 2L = 120, jadi L = (120−3y)/2 = 60 − 1.5y.
  2. Luas A = L × y = (60−1.5y)y = 60y − 1.5y².
  3. Tetapkan A = 450: 60y − 1.5y² = 450 → darabkan dengan −2/3: y² − 40y + 300 = 0.
  4. Faktorkan: (y−10)(y−30) = 0, jadi y = 10 atau y = 30.
  5. Semak: y=10 memberi L=45 m (susun atur panjang dan sempit); y=30 memberi L=15 m (susun atur lebar dan cetek). Kedua-duanya sah dari segi geometri.

Contoh berjawab 8

Sebiji bola dibaling ke atas dari puncak sebuah menara setinggi 20 m. Jika ia dibaling dari aras tanah, ketinggian yang diperoleh di atas titik balingan dimodelkan oleh 25t − 5t² (meter) selepas t saat.

(a) Bentukkan model bagi h(t), ketinggian bola di atas tanah apabila dibaling dari menara itu. (b) Cari ketinggian bola selepas 2 saat.

(c) Cari masa bola itu jatuh ke tanah, betul kepada 2 tempat perpuluhan.

  1. Ketinggian di atas tanah = tinggi menara + ketinggian yang diperoleh daripada balingan: h(t) = 20 + 25t − 5t².
  2. Pada t = 2: h(2) = 20 + 25(2) − 5(2)² = 20+50−20 = 50 m.
  3. Bola jatuh ke tanah apabila h(t) = 0: 20+25t−5t² = 0 → bahagikan dengan −5: t² − 5t − 4 = 0.
  4. Guna rumus kuadratik: t = [5 ± √(25+16)]/2 = [5 ± √41]/2 = [5 ± 6.403]/2.
  5. Ambil punca positif: t ≈ 11.403/2 ≈ 5.70 s (punca negatif ditolak).

Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

Tempah Kelas PercubaanPercubaan berbayar 1 jam · Balasan hari yang sama · dari RM50/jam

Soalan lazim

Apakah yang menjadikan soalan pemodelan matematik KBAT paling sukar dalam bab ini?

Soalan KBAT jarang memberitahu anda persamaan mana yang perlu dibentuk, anda perlu menentukan apa yang hendak dimodelkan, memilih pemboleh ubah sendiri, dan selalunya mengoptimumkan atau menilai beberapa model yang mungkin berbanding kekangan sebenar (kos, masa, kapasiti). Biasanya tiada satu langkah pertama yang jelas, jadi merancang sebelum menulis apa-apa lebih penting berbanding tahap lain.

Apakah yang diberi markah oleh pemeriksa dalam jawapan pemodelan KBAT?

Pemilihan pemboleh ubah dan model yang wajar dengan sebab, kerja yang menunjukkan bagaimana setiap persamaan diperoleh daripada maklumat yang diberi, dan penilaian atau kesimpulan akhir yang menjawab soalan sebenar yang ditanya (bukan sekadar satu nombor). Markah diberikan kepada jejak penaakulan sama seperti mana-mana nilai betul yang dihasilkan.

Perangkap biasa apa yang menjejaskan pelajar yang kuat dalam soalan pemodelan KBAT?

Membina model yang betul secara matematik tetapi sebenarnya tidak menjawab soalan yang ditanya, terlupa menyatakan andaian yang menjadi asas model, dan berhenti sebaik sahaja persamaan diselesaikan tanpa mentafsir semula hasilnya dalam konteks sebenar. Membaca semula soalan selepas menyelesaikannya, untuk menyemak sama ada jawapan benar-benar menjawabnya, menangkap kebanyakan kesilapan ini.

Tempah Kelas Percubaan

Tempah Kelas Percubaan
Percubaan berbayar 1 jam · Balasan hari yang samadari RM50/jam
Tempah Kelas Percubaan