数学建模
如何建立并使用线性模型
用它把“固定部分 + 每单位费率”的真实情境化成可用的线性方程。
开始之前
- 把文字情境转成表达式
- 把数值代入公式
- 解简单的一次方程
何时使用
用它把“固定部分 + 每单位费率”的真实情境化成可用的线性方程。
步骤
- 识别固定量（不变的部分）与每单位费率。
- 把模型写成 总额 = 固定 + 费率 × 数量。
- 代入一个已知值，检验模型符合情境。
- 用模型回答所问的问题。
- 检验答案在真实情境中合理。
例题
一位水管工收固定上门费 RM40，外加每工作一小时 RM30。求 3 小时工作的费用。
- 找出固定金额 RM40（上门费）和费率 RM30 每小时。
- 把模型写成 总额 = 固定 + 费率 × 数量：C = 40 + 30h，其中 h 是小时数。
- 用已知值检查：1 小时的工作给 C = 40 + 30 × 1 = RM70，符合情境。
- 用模型回答问题，h = 3：C = 40 + 30 × 3 = 40 + 90 = 130。
- 3 小时 RM130 合理，所以答案说得通。
第二个例题（略有变化）
费率为负，因为水箱在排水，而且题目给出总量，要反过来求数量。 一个水箱起初有 500 升水，以每分钟 20 升排水。
多少分钟后还剩 140 升？
- 找出固定金额 500 升（起始水量）和费率 −20 升每分钟，因为在排水。
- 把模型写成 总量 = 固定 + 费率 × 数量：V = 500 − 20t，其中 t 是分钟数。
- 用已知值检查：1 分钟后 V = 500 − 20 × 1 = 480 升，符合正在排水的水箱。
- 用模型代入 V = 140：140 = 500 − 20t，所以 20t = 360，t = 18。
- 水箱会在 25 分钟排空，所以 18 分钟剩 140 升说得通。
公式页面
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常见问题
怎么在文字题里找出固定部分和费率？
固定部分是还没数任何单位前就存在的量，起始值或一次性收费。费率是每个单位增加或减少的量，通常带“每小时”“每个”这类词。
写模型前先把两者划出来。
费率什么时候为负？
当数量增大而总量减少时费率为负，如排水、耗油或余额被花掉。用负号写，模型变成 固定 − 费率 × 数量。
正费率用于随时间累积增加的情形。
为什么要用已知值检查模型？
代入一个你已经理解的值，如零小时的费用，或一分钟后的量，能在信赖模型前确认它符合真实情境。若检查出现不可能的结果，说明固定部分或费率设错了，可以及早改正。