数学建模 · 8.1.2
用函数进行数学建模
这项标准要求学生把现实生活情境转化为线性、二次或指数函数，利用所给的信息求出函数中未知的常数。学生接着运用该函数解决问题（例如求最大值、变化率或未来的数值），并清楚交流建模过程的每一个阶段，包括所作的假设与验证的步骤。
官方学习标准 (8.1.2)
“通过涉及以下函数的数学建模解决现实生活问题：(i) 线性函数 (ii) 二次函数 (iii) 指数函数，并交流所实施的数学建模过程。”
它的含义
这项标准要求学生把现实生活情境转化为线性、二次或指数函数，利用所给的信息求出函数中未知的常数。学生接着运用该函数解决问题（例如求最大值、变化率或未来的数值），并清楚交流建模过程的每一个阶段，包括所作的假设与验证的步骤。
如何考查
用函数进行数学建模主要在第二卷中考查，通常以延伸结构题或开放式问题的形式出现，情境涉及现实生活（例如利润、人口、被抛出物体的高度等）。学生需要根据所给数据建立函数、求出所需的值，并说明整个建模过程；第一卷则可能考查学生能否辨认某个情境适合用哪一种函数来建模。
例题
一个球从地面垂直向上抛出。t 秒后球离地面的高度 h（米）被认为符合二次函数模型 h(t) = at² + bt。
已知 h(1) = 15,h(2) = 20，请建立该模型，并用 h(3) = 15 进行验证，然后求出球所达到的最大高度。
- 由于球从地面开始，h(0) = 0，因此模型为 h(t) = at² + bt（没有常数项）。
- 代入 t = 1:a + b = 15。
- 代入 t = 2:4a + 2b = 20 → 2a + b = 10。
- 联立求解：(2a + b = 10) − (a + b = 15) 得 a = -5。因此 b = 15 − (-5) = 20。
- 模型为：h(t) = -5t² + 20t。
- 在 t = 3 时验证：h(3) = -5(9) + 20(3) = -45 + 60 = 15（与给定数据相符），模型得到验证。
- 最大高度出现在 t = -b/(2a) = -20/(2×-5) = 2 秒。
- h(2) = -5(4) + 20(2) = -20 + 40 = 20。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
我怎么知道该用哪种函数来建模？
观察这个量是如何变化的：如果它以固定的速率增加或减少，就使用线性函数；如果它先上升后下降（例如被抛出物体的高度或面积问题），就使用二次函数；如果它每个周期都以固定的百分比增长或衰减（例如人口增长或放射性衰变），就使用指数函数。选对函数类型是建模成功的第一步。
「交流数学建模过程」到底要求我写些什么？
你需要清楚地展示每一个阶段：说明现实生活中的问题、列出你的假设、利用所给的信息建立函数、求解该函数，然后验证你的答案是否合理（例如用另一个数据点或实际情境来检查），最后把结果放回原本的情境中作出解释，而不仅仅是给出一个数字答案。这整个流程就是「交流建模过程」的要求。
这个课题需要背诵新公式吗？
这个课题不会引入任何新公式。你需要运用已经学过的线性方程(y = mx + c)、二次方程(y = ax² + bx + c，包括顶点)以及指数函数(y = abx)的相关知识。
这里考查的技能是：根据情境选择合适的函数类型、利用所给信息求出函数中的未知系数，并清楚说明你的推理过程。