一元二次函数与方程
如何配方法
当二次式无法整齐因式分解，或需要求其最小/最大点时，使用配方法。
开始之前
- 展开平方括号如 (x + p)²
- 对正数和负数求平方
- 解形如 (x + p)² = k 的简单方程
何时使用
当二次式无法整齐因式分解，或需要求其最小/最大点时，使用配方法。
步骤
- 确保 x² 的系数为 1；若不是，先把整个式子除以它。
- 取 x 系数的一半，再平方。
- 在式子里加上再减去这个平方。
- 把前三项写成完全平方 (x + p)²，并化简常数。
- 读出顶点 (−p, 常数)，或令平方等于另一边来求解。
例题
将 x² + 6x + 5 表示为 (x + p)² + q 的形式，并写出最小点。
- x² 的系数已经是 1，无需除。
- x 系数的一半：6 的一半是 3，3² = 9。
- 加上再减去 9：x² + 6x + 9 − 9 + 5。
- 把前三项写成平方并化简：(x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4。
- 此处 p = 3，q = −4，所以转折点是 (−3, −4)；因为 a > 0，它是最小点。
第二个例题（略有变化）
x² 的系数不是 1，所以要先除，而且这里是解方程，而不仅仅是求转折点。 用配方法解 2x² − 12x + 10 = 0。
- x² 的系数是 2，所以整条方程除以 2：x² − 6x + 5 = 0。
- x 系数的一半：−6 的一半是 −3，(−3)² = 9。
- 加上再减去 9：x² − 6x + 9 − 9 + 5 = 0。
- 写成平方并化简常数：(x − 3)² − 4 = 0。
- 让平方等于另一边并求解：(x − 3)² = 4，所以 x − 3 = ±2，得 x = 5 或 x = 1。
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常见问题
我是把 x 前面的数除以二，还是整个 x 项？
把系数除以二，也就是乘 x 的那个数，而不是 x 本身。在 x² + 6x 中系数是 6，取一半得 3，再平方得 9。
要保留符号：x² − 6x 时把 −6 取一半得 −3。
转折点什么时候是最小点，什么时候是最大点？
看 x² 前面的数。若为正，抛物线开口向上，转折点是最小点；若为负，开口向下，转折点是最大点。
配方法给出的点相同，只是开口方向决定它是最大还是最小。
为什么要加上又减去同一个数？
加上再减去同一个数不会改变式子，所以它保持相等。这个技巧让你用前三项凑成一个完全平方，而减去的数保持平衡。
式子还是原来的，只是写成更有用的形式。