中四 · Relationship and Algebra
一元二次函数与方程
二次函数是中四的第一个重要概念，曲线、根与抛物线的形状。掌握它，后面许多数学都会变得更简单。
什么是一元二次函数与方程？
本章讲的是形如 y = ax² + bx + c 的二次函数，以及令其等于零时得到的方程。你要学会识别二次式、求它的根（曲线与 x 轴相交的 x 值），并画出抛物线，包括开口方向与顶点的位置。
内容标准（DSKP）
DSKP KSSM 为本章设定了以下内容标准：
- 1.1 一元二次函数与方程
核心概念
抛物线的形状
a 为正，曲线开口向上（笑脸）；a 为负则向下。a 的符号是第一件要看的事。
二次方程的根
根是 y = 0 之处。你可以用因式分解、配方法或二次公式求它，每一种都是应对不同题目的工具。
判别式 b² − 4ac
它的符号告诉你有几个实根：正为两个，零为一个重根，负为没有。
顶点
配方法把函数改写，使最大或最小点能直接读出，这是试卷二的常客。
本章如何考
试卷一倾向于考根、判别式与快速读图。试卷二更深入：用配方法求顶点、标出截距作图，或解一道藏着二次式的实际情境题。
本章全年都会间接出现。
如何复习本章
要避开的常见错误
- 开平方时忘了 ±，漏掉一个根
- a 为负时的符号错误
- 判别式符号读错，导致根的个数算错
求根的三条路，以及如何选择
解 ax² + bx + c = 0 有三种标准方法，选对方法能省时间。当根是整数或简单分数时，因式分解最快，找两个相乘等于 ac、相加等于 b 的数。
若几秒内看不出因式，就改用二次公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a，它印在考试公式表上且永远有效，因此当题目要求答案精确到两位小数时（这种措辞强烈暗示根不是整数），它是你稳妥的后备。配方法是第三条路；单纯求根时较慢，但它是唯一同时给出顶点的方法，所以当题目两者都要时就用它。
配方法，一步一步来
配方法把 ax² + bx + c 改写成 a(x − h)² + k，称为顶点式，因为它直接在 (h, k) 显示顶点（转折点）。步骤固定：先只从 x² 和 x 项中提出 a，把 c 留在外面；在括号内，把 x 的系数取一半再平方，加上又减去这个平方，使括号成为完全平方；然后整理常数。
例如 2x² − 8x + 5 = 2(x² − 4x) + 5 = 2[(x − 2)² − 4] + 5 = 2(x − 2)² − 3。写成这个形式后，你就能直接读出最小或最大值（这里最小的 y 是 −3，因为平方括号永不为负），而这正是许多试卷二转折点题目真正要问的。
从已知条件构建二次函数
有些题目把过程反过来：不给函数，而是给线索，要你写出二次函数。若已知根是 p 和 q，从 y = a(x − p)(x − q) 开始，因为令每个括号为零就还原出这些根；a 是伸缩系数，可由曲线上一个额外点求得。
若已知转折点是 (h, k)，出于同样理由，从顶点式 y = a(x − h)² + k 开始。若只知道图形经过某些点，把每个点代入，建立关于 a、b、c 的方程再联立求解。
要养成的习惯是：问哪种形式最方便代入所给信息，给根就用因式形式，给转折点就用顶点式，给零散的点就用一般式。
一道考试式例题
这个例子把配方法、转折点和根结合成一道典型的试卷二题目。
- （a）只从 x 项中提出 2：y = 2(x² − 4x) + 5。
- −4 的一半是 −2，且 (−2)² = 4，所以在括号内加上又减去 4：y = 2[(x² − 4x + 4) − 4] + 5。
- 前三项是完全平方：y = 2[(x − 2)² − 4] + 5。
- 把 2 乘进去并合并常数：y = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3。
- （b）在顶点式中 h = 2、k = −3，所以转折点是 (2, −3)。因为 a = 2 为正，抛物线开口向上，所以是最小值。
- （c）令顶点式为零：2(x − 2)² − 3 = 0，所以 (x − 2)² = 3/2 = 1.5。
- 两边开平方，保留 ±：x − 2 = ±√1.5 = ±1.2247。
- 所以 x = 2 + 1.2247 = 3.2247 或 x = 2 − 1.2247 = 0.7753。
- 用二次公式验算：b² − 4ac = (−8)² − 4(2)(5) = 64 − 40 = 24，而 x = (8 ± √24) / 4 = (8 ± 4.899) / 4，得 3.22 和 0.78，数值相同。
学习一元二次函数与方程
常见问题
本章如何考
SPM 数学通过 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 考查本章，依据上述 DSKP 内容标准。试卷二为步骤给分，因此写出每一步很重要。
要避开的常见错误
开平方时忘了 ±，漏掉一个根; a 为负时的符号错误; 判别式符号读错，导致根的个数算错.
一元二次函数与方程有公式在考试中提供吗？
本章在考试公式表上没有公式，步骤需靠记忆与方法。
什么时候该因式分解，什么时候该用公式？
当根看起来像整数或简单分数时，先试因式分解。若几秒内看不出因式，就改用二次公式，它总是有效且印在公式表上。
一个线索：若题目要求答案精确到两位小数，说明根不是整数，直接用公式即可。
怎么知道抛物线开口向上还是向下？
只看 a，即 x² 的系数。若 a 为正，曲线像山谷般开口向上，转折点是最小值。
若 a 为负，则像山丘般开口向下，转折点是最大值。b 和 c 项会移动曲线，但永远不改变开口方向。
我算出的判别式是负的，是我算错了吗？
不一定。b² − 4ac 为负表示方程没有实根，所以抛物线不接触 x 轴。
这在 SPM 里是完全有效的答案，写“没有实根”。但符号写错是最常见的原因，所以确定之前先重新检查 a、b、c 的值。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)· SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)