一元二次函数与方程 · 1.1.5
二次方程的根
二次方程ax² + bx + c = 0的根，是使方程成立的x值，同时也是函数f(x) = ax² + bx + c图像的x轴截距。本标准着重让学生理解根的意义，为后续学习求根方法作铺垫。
官方学习标准 (1.1.5)
“解释二次方程的根的意义。须进行探索活动。
仅限于实根。须讨论根在二次函数图像上的位置。”
它的含义
二次方程ax² + bx + c = 0的根，是使方程成立的x值，同时也是函数f(x) = ax² + bx + c图像的x轴截距。本标准着重让学生理解根的意义，为后续学习求根方法作铺垫。
如何考查
试卷一从概念层面考查此标准，例如要求学生直接从给定图像中说出根，或解释根所代表的含义。这也是试卷二中结合解方程与绘图或图像判读的题目所依赖的基础。
例题
二次函数f(x) = x² − x − 6的图像在x = −2和x = 3处与x轴相交。说明这两个x值代表什么，并验证它们满足f(x) = 0。
- 图像与x轴相交的点，其x值就是使f(x) = 0成立的值。
- 这些x值称为二次方程x² − x − 6 = 0的根。
- 验证x = −2:f(−2) = (−2)² − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0。✓
- 验证x = 3:f(3) = (3)² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0。✓
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
二次方程的“根”到底是什么？
根是使方程ax² + bx + c = 0成立的x值。从图像上看，它是曲线f(x) = ax² + bx + c与x轴相交处的x坐标，因为在该点f(x) = 0。
二次方程可以没有实根吗？
可以。如果函数f(x) = ax² + bx + c的图像始终不与x轴相交，例如整条抛物线开口向上且完全位于x轴上方，那么就不存在使f(x) = 0成立的实数x，因此该方程没有实根。
二次方程最多可以有多少个根？
二次方程最多有两个实根。可能是两个不同的实根，也可能是一个重根(图像恰好与x轴相切)，或者当图像不与x轴相交时，完全没有实根。