一元二次函数与方程 · 中四
一元二次函数与方程：复习笔记
一元二次函数与方程 的精简复习总结（SPM 数学），核心概念、考试提供的公式，以及考前该聚焦的重点。
核心要点
本章讲的是形如 y = ax² + bx + c 的二次函数，以及令其等于零时得到的方程。你要学会识别二次式、求它的根（曲线与 x 轴相交的 x 值），并画出抛物线，包括开口方向与顶点的位置。
需复习的核心概念
- 抛物线的形状. a 为正，曲线开口向上（笑脸）；a 为负则向下。a 的符号是第一件要看的事。
- 二次方程的根. 根是 y = 0 之处。你可以用因式分解、配方法或二次公式求它，每一种都是应对不同题目的工具。
- 判别式 b² − 4ac. 它的符号告诉你有几个实根：正为两个，零为一个重根，负为没有。
- 顶点. 配方法把函数改写，使最大或最小点能直接读出，这是试卷二的常客。
每个核心概念配一个小例子
- 由 a 的符号判断形状：对于 y = -2x2 + 3x + 1，a = -2 < 0，所以抛物线开口向下，有最大点。
- 因式分解求根：解 x2 - 5x + 6 = 0。分解 (x - 2)(x - 3) = 0，所以 x = 2 或 x = 3。
- 用公式求根：解 x2 - 4x + 1 = 0，x = [-b +/- sqrt(b2 - 4ac)] / 2a = [4 +/- sqrt(16 - 4)] / 2 = 2 +/- sqrt(3)，所以 x = 3.73 或 x = 0.27（保留两位小数）。
- 判别式：对于 x2 + 3x + 5 = 0，b2 - 4ac = 9 - 20 = -11 < 0，所以没有实根。
- 配方法求转折点：x2 - 6x + 10 = (x - 3)2 + 1，所以转折点是 (3, 1)，因为 a > 0，是最小点。
本章考前检查清单
- 重新推导，不要死记：由 a(x - h)2 + k，转折点是 (h, k)，对称轴是 x = h。自己推导一次，考试时才敢用。
- 清楚试卷给你什么：二次公式印在 SPM 公式表上，但判别式判断（b2 - 4ac > 0、= 0、< 0）没有印，所以这三种情况要记牢。
- 最省分的一个习惯：因式分解前一定先把方程整理成 “= 0”，开平方时一定写上 “+/-”。
- 画图前先看 a 的符号，才能把开口方向画对。
- 任何草图上，离开该题前都要标出两个 x 截距（根）、y 截距（c）以及转折点。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
二次公式印在 SPM 公式表上吗，还是要自己背？
二次公式 x = [-b +/- sqrt(b2 - 4ac)] / 2a 印在 SPM Mathematics 公式表上，所以不必背。表上没有给的是判别式的读法，因此要记住：b2 - 4ac 为正、为零、为负时，分别代表两个不同实根、一个重根、以及没有实根。
这一部分靠自己牢记。
复习时应该先掌握哪种求根方法？
先掌握因式分解，因为 Kertas 1 的二次式大多设计成可分解，而且最快。接着学配方法，因为 Kertas 2 用它来求转折点和精确形式。
公式则作为可靠的后备，用来处理任何无法干净分解的方程。三者都练，考试时才能挑最快的一种。
画抛物线草图时，究竟要标注哪些东西才符合考试要求？
标出两个 x 截距（y = 0 时的根）、y 截距（x = 0 时的 c 值），以及带坐标的转折点。同时让开口方向根据 a 的符号一目了然。
只要这四项都标注清楚，即使不按比例，草图也能拿到形状分。这比画得漂亮却不标注更重要。