一元二次函数与方程 · 中四
一元二次函数与方程：关键术语
SPM 数学中 一元二次函数与方程 你需要掌握的关键术语，以英、巫、中三语平实定义。
- 二次函数 形如 y = ax² + bx + c（a 不为零）的函数；其图形是抛物线。
- 方程的根 使方程等于零的 x 值；即图形与 x 轴相交之处。
- 判别式 值 b² − 4ac，其符号表明二次方程有几个实根。
- 抛物线 二次函数的 U 形曲线；a 为正开口向上，a 为负开口向下。
- 系数 乘在变量前的数；在 ax² + bx + c 中，系数是 a、b、c。
- 顶点 抛物线的最大或最小点，用配方法求得。
- 对称轴 经过顶点、把抛物线分成两半镜像的竖直线。
- 根的性质 二次式有两个、一个或没有实根，由判别式 b² − 4ac 决定。
- 变量 通常用字母表示、可变化的数的符号。
学生容易混淆的术语配对
- 根 vs y 截距 - 区别在于：根是曲线与 x 轴相交处的 x 值（y = 0）；y 截距是曲线与 y 轴相交处的 y 值（x = 0，所以 y = c）。
- 转折点 vs 对称轴 - 区别在于：转折点是一个点 (h, k)；对称轴是穿过它的竖直线 x = h。
- 判别式 vs 根 - 区别在于：判别式 b2 - 4ac 只告诉你有多少个实根及其性质；根是你实际解出的 x 值。
- 系数 vs 变量 - 区别在于：在 ax2 + bx + c 中，变量是 x（会变化），而 a、b、c 是系数或常数（固定的数）。
- 最大点 vs 最小点 - 区别在于：由 a 的符号决定，a > 0 是最小点（开口向上），a < 0 是最大点（开口向下）；两者都是转折点。
- 根的性质 vs 根的值 - 区别在于：「性质」问根是实数且相异、实数且相等，还是非实数；「值」问的是那些具体数字。
这些术语在真实 SPM 题目中的表述方式
- 「把它表示成 a(x - h)2 + k 的形式」意思是配方；转折点随即读作 (h, k)。
- 「说明根的性质」意思是计算 b2 - 4ac 并分类：大于 0 有两个相异根，等于 0 有两个相等（重）根，小于 0 没有实根。
- 「图形不与 x 轴相交」意思是 b2 - 4ac < 0；「该直线与曲线相切」意思是 b2 - 4ac = 0。
- 「求使方程有两个相异根的 k 值范围」意思是列出关于 k 的不等式 b2 - 4ac > 0 并求解。
- 「曲线有最小值 q」意思是 q 是配方形式 a(x - h)2 + k 中的常数，而「最小点」指的是坐标 (h, k)。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
题目说「直线与曲线相切」时，给了我什么条件？
切线与曲线恰好相交于一点，所以把直线代入曲线所得的方程只有一个重根。这意味着判别式等于零：b2 - 4ac = 0。
做法是把直线代入二次式，整理成 ax2 + bx + c = 0 的形式，然后令 b2 - 4ac = 0，再解出未知数。相切、重根、判别式为零这三者是同一件事的三种说法。
题目说「说明根的性质」到底是在问什么？
它问的不是根的具体值，而是要你算出 b2 - 4ac 并用文字描述结果：为正时有两个相异实根，为零时有两个相等（重）实根，为负时没有实根。先写出判别式的数值，再写分类结论，让阅卷员看到你的推理过程。
只写结论而不算判别式，往往拿不到方法分。
「转折点」和某些书上写的「顶点」是同一个东西吗？
是的，在抛物线上它们指同一个点，即曲线由降转升（或由升转降）的地方。SPM Mathematics 试卷通常用「转折点」一词，并标明是最小点或最大点。
无论用哪个词，都可以直接从配方形式 a(x - h)2 + k 读出坐标，即 (h, k)。看到「顶点」不必慌，处理方法完全一样。