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一元二次函数与方程 · 中四

一元二次函数与方程：练习题

一元二次函数与方程 的原创 SPM 风格练习题，每题附完整解答，试卷一选择题与试卷二结构题。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

一元二次函数与方程 的原创练习题，仿 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 的风格。每题都有解答，方便你检查方法而不只是结果。

选择题（试卷一风格）

题 1

将 (x − 3)(x + 5) = 7 写成一般式 ax² + bx + c = 0。

  1. A. x² + 2x − 22 = 0
  2. B. x² + 2x − 8 = 0
  3. C. x² − 2x − 22 = 0
  4. D. x² + 2x + 22 = 0

题 2

用因式分解法解二次方程 2x² − 7x + 3 = 0。

  1. A. x = ½ 或 x = 3
  2. B. x = −½ 或 x = −3
  3. C. x = ½ 或 x = −3
  4. D. x = 2 或 x = 3

题 3

一个二次方程的根为 −2 和 5。哪个方程具有这些根？

  1. A. x² − 3x − 10 = 0
  2. B. x² + 3x − 10 = 0
  3. C. x² − 3x + 10 = 0
  4. D. x² + 7x − 10 = 0

题 4

确定方程 x² − 4x + 7 = 0 的实根个数。

  1. A. 两个不同的实根
  2. B. 两个相等的实根
  3. C. 没有实根
  4. D. 三个实根

题 5

方程 x² + px + 9 = 0 有两个相等的根。求 p 的正值。

  1. A. 3
  2. B. 6
  3. C. 9
  4. D. 18

题 6

求图形 y = x² − 6x + 5 的对称轴方程。

  1. A. x = −3
  2. B. x = 3
  3. C. x = 6
  4. D. x = 5

题 7

对于二次函数 y = −2x² + 3x + 1，关于其图形的哪个陈述是正确的？

  1. A. 开口向上，有最小点
  2. B. 开口向下，有最大点
  3. C. 开口向上，有最大点
  4. D. 开口向下，有最小点

题 8

曲线 y = x² − 2x − 8 在哪些点与 x 轴相交？

  1. A. (4, 0) 和 (−2, 0)
  2. B. (−4, 0) 和 (2, 0)
  3. C. (8, 0) 和 (−1, 0)
  4. D. (2, 0) 和 (4, 0)

题 9

将 x² + 8x + 3 写成 (x + p)² + q 的形式。

  1. A. (x + 4)² − 13
  2. B. (x + 4)² + 13
  3. C. (x + 8)² − 13
  4. D. (x + 4)² − 19

题 10

用二次公式解 x² + 3x − 1 = 0，以根式表示根。

  1. A. (−3 ± √13)/2
  2. B. (3 ± √13)/2
  3. C. (−3 ± √5)/2
  4. D. (−3 ± √13)/1

结构题（试卷二风格）

题 1 (6 分)

一块长方形菜地的长为 (x + 4) 米，宽为 (x − 1) 米。菜地的面积为 24 m²。

(a) 证明 x² + 3x − 28 = 0。 (b) 解此方程求 x 的值。

(c) 由此，写出菜地的长。

  1. (a) 面积 = 长 × 宽，所以 (x + 4)(x − 1) = 24。
  2. 展开左边：x² + 3x − 4 = 24。
  3. 把 24 移到左边：x² + 3x − 28 = 0。（已证）
  4. (b) 因式分解：(x + 7)(x − 4) = 0。
  5. 所以 x + 7 = 0 或 x − 4 = 0，得 x = −7 或 x = 4。
  6. 宽 (x − 1) 必须为正，所以舍去 x = −7；因此 x = 4。
  7. (c) 长 = x + 4 = 4 + 4 = 8 m。

题 2 (6 分)

已知二次函数 f(x) = x² − 8x + 11。 (a) 将 f(x) 写成 (x − h)² + k 的形式。

(b) 写出最小点的坐标。 (c) 写出对称轴的方程。

(d) 解 f(x) = 0，答案准确到小数点后两位。

  1. (a) 取 −8 的一半并平方：(−4)² = 16。
  2. f(x) = x² − 8x + 11 = (x − 4)² − 16 + 11 = (x − 4)² − 5。
  3. (b) 当 x = 4 时最小值为 −5，所以最小点为 (4, −5)。
  4. (c) 对称轴通过顶点：x = 4。
  5. (d) 令 (x − 4)² − 5 = 0，所以 (x − 4)² = 5。
  6. 开平方：x − 4 = ±√5，所以 x = 4 ± √5。
  7. x = 4 + 2.2361 = 6.24 或 x = 4 − 2.2361 = 1.76（准确到小数点后两位）。

题 3 (7 分)

二次方程 2x² + (k + 1)x + 8 = 0 有两个相等的根，其中 k > 0。 (a) 用判别式，建立一个关于 k 的方程。

(b) 求 k 的值。 (c) 由此，解此二次方程。

  1. (a) 两根相等时，b² − 4ac = 0，其中 a = 2，b = k + 1，c = 8。
  2. 所以 (k + 1)² − 4(2)(8) = 0，即 (k + 1)² − 64 = 0。
  3. (b) (k + 1)² = 64，所以 k + 1 = ±8，得 k = 7 或 k = −9。
  4. 因为 k > 0，k = 7。
  5. (c) 代入 k = 7：2x² + 8x + 8 = 0。
  6. 两边除以 2：x² + 4x + 4 = 0，所以 (x + 2)² = 0。
  7. 因此 x = −2（重根）。

题 4 (8 分)

一个球被向上抛出。抛出 t 秒后，它离地面的高度 h 米由 h = 20t − 5t² 建模。

(a) 求球在 1 秒后的高度。 (b) 求球在高度 15 m 时的时间。

(c) 用配方法求达到的最大高度及其发生的时间。 (d) 求球落地的时间。

  1. (a) 代入 t = 1：h = 20(1) − 5(1)² = 20 − 5 = 15 m。
  2. (b) 令 h = 15：20t − 5t² = 15，所以 −5t² + 20t − 15 = 0。
  3. 两边除以 −5：t² − 4t + 3 = 0，再因式分解：(t − 1)(t − 3) = 0。
  4. 所以 t = 1 s 或 t = 3 s。
  5. (c) h = 20t − 5t² = −5(t² − 4t) = −5[(t − 2)² − 4] = −5(t − 2)² + 20。
  6. 最大高度为 20 m，在 t = 2 s 时达到。
  7. (d) 令 h = 0：20t − 5t² = 0，所以 5t(4 − t) = 0，得 t = 0 或 t = 4。
  8. 球在 t = 4 s 时落地（t = 0 是抛出的时刻）。

资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)

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常见问题

这一章的Paper 1选择题和Paper 2结构式题目有什么不同？

Paper 1题组是针对二次函数与方程的快速选择题，用来训练答题速度和准确度；Paper 2题组则是较长的结构式题目，需要写出完整解题过程，更贴近真实考试的评分方式。这一章在两份试卷中都会考到，所以建议两种题型都要认真练习，不要只做其中一种。

为什么每道题都要先自己尝试，再看参考解答？

先自己动手做题，即使中途卡住，也能清楚看出自己的解题方法在哪一步出了问题，太早看答案，只会让你学会「认出」解法，而不是真正学会自己解题。尽量把能做的步骤都写下来，标出不确定的地方，再逐行对照参考解答，检查自己的思路和计算错在哪里。

在这套二次函数与方程的练习中，学生常犯什么错误？

常见错误包括：因式分解或用公式解题时弄错正负号、配方(complete the square)时步骤出错，以及没看清题目问的到底是根、顶点还是对称轴。做题时要仔细审题，确认自己的答案回答的正是题目所问的内容，而不是随便求出方程的某一个解就交卷。

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