一元二次函数与方程 · 1.1.2
二次函数与多对一关系
本标准建立在“关系”这一概念之上：二次函数f(x) = ax² + bx + c(a ≠ 0)会把两个不同的x值映射到同一个y值（转折点除外），因此属于多对一关系。学生据此描述抛物线的形状、转折点及对称轴等特征。
官方学习标准 (1.1.2)
“认识二次函数是一种多对一的关系，并据此描述二次函数的特征。”
它的含义
本标准建立在“关系”这一概念之上：二次函数f(x) = ax² + bx + c(a ≠ 0)会把两个不同的x值映射到同一个y值（转折点除外），因此属于多对一关系。学生据此描述抛物线的形状、转折点及对称轴等特征。
如何考查
试卷一常通过图像、箭头图或有序对来考查学生辨识多对一关系并与二次函数配对的能力。这也是试卷二中绘制及解读二次函数图像的基础知识。
例题
已知二次函数f(x) = x² − 4，通过求f(3)和f(−3)说明它是多对一关系，并说出其图像的一个特征。
- f(3) = (3)² − 4 = 9 − 4 = 5
- f(−3) = (−3)² − 4 = 9 − 4 = 5
- 两个不同的x值3和−3都映射到相同的y值5，所以f是多对一关系。
- 该图像是一条抛物线，最小转折点为(0, −4)，对称轴为x = 0。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
对于二次函数，“多对一”是什么意思？
这表示两个（或更多）不同的x值可以产生相同的y值。例如f(x) = x²中，f(1)和f(−1)都等于1，即输入1和−1都被映射到同一个输出值。
这与像一次函数那样的一对一关系有何不同？
在一对一的一次函数中，每个x值对应唯一的y值，不会有两个x值产生相同的输出。而二次函数会以转折点为对称中心，将成对的x值映射到同一个y值，因此是多对一关系。
如何从图像上识别多对一关系？
在图像上画一条水平线。如果它与曲线相交于两点（除转折点处只相切一点外），该关系即为多对一，这正符合抛物线的形状。