一元二次函数与方程
如何由根构造二次式
当已知两个根时，用它构造二次方程。
开始之前
- 正负数的加法和乘法
- 根使某个括号为零的概念
- 两边同乘以消去分数
何时使用
当已知两个根时，用它构造二次方程。
步骤
- 把两个根记为 α 和 β。
- 求它们的和 α + β 与积 αβ。
- 用形式 x² −（和）x +（积）= 0。
- 代入你求得的和与积。
- 如有分数，整体相乘清除。
例题
构造一个根为 2 和 5 的二次方程。
- 设两根为 α = 2 和 β = 5。
- 求和 α + β = 2 + 5 = 7，求积 αβ = 2 × 5 = 10。
- 使用形式 x² − （和）x + （积） = 0。
- 代入和与积：x² − 7x + 10 = 0。
- 没有分数，所以无需两边同乘。
第二个例题（略有变化）
其中一个根是分数，所以和与积都是分数，必须两边同乘把它们消去。 构造一个根为 ½ 和 −3 的二次方程。
- 设两根为 α = ½ 和 β = −3。
- 求和 α + β = ½ + (−3) = −5/2，求积 αβ = ½ × (−3) = −3/2。
- 使用形式 x² − （和）x + （积） = 0。
- 代入：x² − (−5/2)x + (−3/2) = 0，即 x² + (5/2)x − 3/2 = 0。
- 两边同乘以 2 消去分数：2x² + 5x − 3 = 0。
用 KBAT 题练习
预约试课一小时付费试课 · 当天回复 · 每小时RM50起
常见问题
为什么是减去和、加上积？
它来自展开 (x − α)(x − β)。乘开得 x² − (α + β)x + αβ，所以和带负号、积带正号。
记住模式 x² − （和）x + （积） = 0，符号就总会正确。
一定要两边同乘来消去分数吗？
不是必须，但这样答案更整齐、系数为整数，正是考试通常期望的。每一项乘以同一个数，方程仍平衡，根也不变。
选能一次消去所有分母的最小的数。
我可以直接展开 (x − α)(x − β) 吗？
可以，得到的方程完全相同。写 (x − 2)(x − 5) 并乘开，就得到 x² − 7x + 10 = 0。
和与积的方法只是到达同样结果的更快途径，在根是别扭数字时很方便。