一元二次函数与方程：例题（KBAT）

例题 1

1. 设宽为 x 米，则长为 (x + 3) 米。
2. 面积 = 宽 × 长，所以 x(x + 3) = 40。
3. 展开并整理：x² + 3x − 40 = 0。
4. 分解：(x + 8)(x − 5) = 0，所以 x = −8 或 x = 5。
5. 宽不能为负，故舍去 x = −8；宽为 x = 5 米。
6. 长为 x + 3 = 5 + 3 = 8 米。

例题 2

1. (a) 在地面 h = 0，所以 20t − 5t² = 0。
2. 分解：5t(4 − t) = 0，所以 t = 0 或 t = 4。
3. t = 0 是踢出的时刻；球在 t = 4 秒回到地面。
4. (b) 配方：h = −5t² + 20t = −5(t² − 4t) = −5((t − 2)² − 4)。
5. 展开：h = −5(t − 2)² + 20，所以当 t = 2 时最大值为 20。
6. 最大高度为 20 米，在 2 秒后达到。

例题 3

1. 衬边在每一边都加 x，所以外矩形为 (20 + 2x) × (15 + 2x) cm。
2. 总面积：(20 + 2x)(15 + 2x) = 500。
3. 展开：300 + 40x + 30x + 4x² = 500，所以 4x² + 70x + 300 = 500。
4. 整理：4x² + 70x − 200 = 0，再除以 2：2x² + 35x − 100 = 0。
5. 分解：(2x − 5)(x + 20) = 0，所以 x = 2.5 或 x = −20。
6. 宽度不能为负，故舍去 x = −20；衬边宽度为 x = 2.5 cm。

例题 4

1. 设高为 h cm，则底为 (h + 7) cm。
2. 三角形面积 = ½ × 底 × 高，所以 ½ × (h + 7) × h = 30。
3. 两边同乘 2：h(h + 7) = 60，即 h² + 7h − 60 = 0。
4. 分解：(h + 12)(h − 5) = 0，所以 h = −12 或 h = 5。
5. 长度不能为负，所以 h = 5；底 = 5 + 7 = 12。

例题 5

1. 设较小的偶数为 n，下一个偶数是 n + 2。
2. 它们的乘积：n(n + 2) = 168，即 n² + 2n − 168 = 0。
3. 分解：(n + 14)(n − 12) = 0，所以 n = −14 或 n = 12。
4. 这两个数为正，所以 n = 12，n + 2 = 14。

例题 6

1. 设原价为每本 RM x，则购买数量为 60/x。
2. 若每本 RM (x − 1)，可买 60/(x − 1) 本，比原来多 5 本：60/(x − 1) = 60/x + 5。
3. 两边同乘 x(x − 1)：60x = 60(x − 1) + 5x(x − 1)。
4. 化简：60x = 60x − 60 + 5x² − 5x，所以 5x² − 5x − 60 = 0，即 x² − x − 12 = 0。
5. 分解：(x − 4)(x + 3) = 0，所以 x = 4 或 x = −3；价格为正，所以 x = 4。

例题 7

1. 设行数为r，则每行的树木数量为r + 5。
2. 树木总数：r(r + 5) = 176，即 r² + 5r − 176 = 0
3. 求解：r = [−5 ± √(25 + 704)] / 2 = [−5 ± √729] / 2 = [−5 ± 27] / 2
4. 舍去负根；r = 11（行数必须为正数）
5. 每行树木数 = 11 + 5 = 16；验算：11 × 16 = 176 ✓

例题 8

1. 设垂直于河边的宽为x米，两段宽共用去围栏2x米，剩下(80 − 2x)米用于平行河边的一边。
2. 面积：x(80 − 2x) = 750，即 80x − 2x² = 750，化简得 2x² − 80x + 750 = 0，即 x² − 40x + 375 = 0
3. 求解：x = [40 ± √(1600 − 1500)] / 2 = [40 ± √100] / 2 = [40 ± 10] / 2
4. x = 25 或 x = 15
5. 当x = 15时：长 = 80 − 30 = 50，即15米×50米。当x = 25时：长 = 80 − 50 = 30，即25米×30米。验算：15×50 = 750 ✓，25×30 = 750 ✓

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)