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一元二次函数与方程 · 中四

一元二次函数与方程：例题（中等）

本组进入二次公式、由根构造方程、以及抛物线草图，需要两三个相连步骤的题目。适合准备综合运用技巧的学生。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

用二次公式解 2x² + 3x − 4 = 0，答案精确到两位小数。

  1. 确定 a = 2、b = 3、c = −4。
  2. 求判别式：b² − 4ac = 3² − 4(2)(−4) = 9 + 32 = 41。
  3. 代入 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) = (−3 ± √41) / 4。
  4. 因为 √41 ≈ 6.403，x = (−3 + 6.403)/4 或 x = (−3 − 6.403)/4。
  5. 算出两者：x = 3.403/4 = 0.85 或 x = −9.403/4 = −2.35。

例题 2

某二次方程的根为 x = 2 和 x = −5。将方程写成 x² + bx + c = 0 的形式。

  1. 若根为 2 和 −5，则因式为 (x − 2) 和 (x + 5)。
  2. 把方程写成 (x − 2)(x + 5) = 0。
  3. 展开：x² + 5x − 2x − 10 = 0。
  4. 合并中间项：x² + 3x − 10 = 0。

例题 3

对于曲线 y = x² − 2x − 3，求 x 截距、y 截距和顶点，然后描述图形的形状。

  1. x 截距：令 y = 0 并分解 x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) = 0，所以 x = 3 或 x = −1。
  2. y 截距：令 x = 0，得 y = −3，所以曲线在 (0, −3) 处与 y 轴相交。
  3. 用配方法求顶点：y = (x − 1)² − 1 − 3 = (x − 1)² − 4。
  4. 顶点为 (1, −4)，由于 x² 的系数为正，它是最小点。
  5. 图形是开口向上的抛物线，最低点在 (1, −4)，在 (−1, 0) 和 (3, 0) 处穿过 x 轴。

例题 4

用因式分解解 3x² − 7x + 2 = 0。

  1. 把 x² 的系数与常数项相乘：3 × 2 = 6。
  2. 找两个相乘得 6、相加得 −7 的数：即 −6 和 −1。
  3. 拆分中间项：3x² − 6x − x + 2 = 0。
  4. 分组并分解：3x(x − 2) − 1(x − 2) = 0，所以 (3x − 1)(x − 2) = 0。
  5. 令每个因式为零：3x − 1 = 0 得 x = 1/3，或 x − 2 = 0 得 x = 2。

例题 5

用配方法把 y = x² + 6x + 5 写成 (x + p)² + q 的形式，并写出图象的最小点。

  1. 把 x 的系数取一半：6 ÷ 2 = 3。
  2. 写成 x² + 6x = (x + 3)² − 3² = (x + 3)² − 9。
  3. 代回：y = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4。
  4. 当 (x + 3)² = 0，即 x = −3 时图象最低，此时 y = −4。

例题 6

二次方程 x² + kx + 9 = 0 有两个相等的根。求 k 的可能值。

  1. 两个相等的根表示判别式 b² − 4ac = 0。
  2. 这里 a = 1，b = k，c = 9。
  3. 代入：k² − 4(1)(9) = 0，所以 k² − 36 = 0。
  4. 求解：k² = 36，所以 k = 6 或 k = −6。

例题 7

用求根公式解 2x² − 4x − 3 = 0，答案准确至小数点后两位。

  1. 确定 a = 2, b = −4, c = −3。
  2. 代入 x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a)：x = [4 ± √(16 + 24)] / 4 = [4 ± √40] / 4
  3. √40 = 6.3246…
  4. x = (4 + 6.3246)/4 = 2.58 或 x = (4 − 6.3246)/4 = −0.58

例题 8

二次方程 2x² − 4x + k = 0 有两个相等的根。求k的值。

  1. 两根相等时，判别式 b² − 4ac = 0。
  2. 此处 a = 2, b = −4, c = k：(−4)² − 4(2)(k) = 0
  3. 16 − 8k = 0
  4. k = 2

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

什么情况下应该用配方法，而不是求根公式？

当题目要求求出转折点、最大值/最小值或对称轴时，配方法是必须的做法，单靠求根公式无法直接得出这些值。求根公式则适合在只需要快速求根、而因式分解又不明显的情况下使用。

使用求根公式时常见的错误是什么？

学生常常忘记±号，代入负数b时出错，或在计算根号内的b² − 4ac时出现算术失误。代入数值时要用括号保留正负号，并且先把判别式完全化简，再开根号，这样比较不容易出错。

不解方程，判别式能提供什么信息？

判别式b² − 4ac可以在不解方程的情况下告诉你根的性质：大于零表示有两个不同的实根，等于零表示有一个重根，小于零则没有实根。考题常常只要求写出根的性质，不需要真正求出根的数值。

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