Fungsi Kuadratik dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah · Tingkatan 4

Fungsi Kuadratik dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah: Contoh Berjawab (Sederhana)

Set ini beralih kepada rumus kuadratik, membentuk persamaan daripada puncanya, dan melakar parabola, soalan yang mengambil dua atau tiga langkah berkait. Untuk pelajar yang bersedia menggabungkan kemahiran.

Ditulis oleh pasukan editorial spmmath.com.my.

Contoh berjawab 1

Selesaikan 2x² + 3x − 4 = 0 menggunakan rumus kuadratik, beri jawapan betul kepada dua tempat perpuluhan.

Kenal pasti a = 2, b = 3, c = −4.
Cari pembeza: b² − 4ac = 3² − 4(2)(−4) = 9 + 32 = 41.
Gantikan ke dalam x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) = (−3 ± √41) / 4.
Oleh sebab √41 ≈ 6.403, x = (−3 + 6.403)/4 atau x = (−3 − 6.403)/4.
Kira kedua-duanya: x = 3.403/4 = 0.85 atau x = −9.403/4 = −2.35.

Contoh berjawab 2

Sebuah persamaan kuadratik mempunyai punca x = 2 dan x = −5. Bentukkan persamaan itu dalam bentuk x² + bx + c = 0.

Jika puncanya 2 dan −5, faktornya ialah (x − 2) dan (x + 5).
Tulis persamaan sebagai (x − 2)(x + 5) = 0.
Kembangkan: x² + 5x − 2x − 10 = 0.
Permudahkan sebutan tengah: x² + 3x − 10 = 0.

Contoh berjawab 3

Bagi lengkung y = x² − 2x − 3, cari pintasan-x, pintasan-y dan titik pusingan, kemudian huraikan bentuk graf.

Pintasan-x: tetapkan y = 0 dan faktorkan x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) = 0, jadi x = 3 atau x = −1.
Pintasan-y: tetapkan x = 0, memberi y = −3, jadi lengkung memotong paksi-y pada (0, −3).
Titik pusingan dengan menyempurnakan kuasa dua: y = (x − 1)² − 1 − 3 = (x − 1)² − 4.
Titik pusingan ialah (1, −4), dan kerana pekali x² positif ia ialah minimum.
Graf ialah parabola membuka ke atas, terendah pada (1, −4), memotong paksi-x pada (−1, 0) dan (3, 0).

Contoh berjawab 4

Selesaikan 3x² − 7x + 2 = 0 dengan pemfaktoran.

Darab pekali x² dengan pemalar: 3 × 2 = 6.
Cari dua nombor yang hasil darabnya 6 dan hasil tambahnya −7: iaitu −6 dan −1.
Pisahkan sebutan tengah: 3x² − 6x − x + 2 = 0.
Kumpul dan faktorkan: 3x(x − 2) − 1(x − 2) = 0, jadi (3x − 1)(x − 2) = 0.
Samakan setiap faktor dengan sifar: 3x − 1 = 0 memberi x = 1/3, atau x − 2 = 0 memberi x = 2.

Contoh berjawab 5

Ungkapkan y = x² + 6x + 5 dalam bentuk (x + p)² + q dengan menyempurnakan kuasa dua, dan nyatakan titik minimum graf.

Bahagi dua pekali x: 6 ÷ 2 = 3.
Tulis x² + 6x = (x + 3)² − 3² = (x + 3)² − 9.
Gantikan semula: y = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4.
Graf paling rendah apabila (x + 3)² = 0, iaitu x = −3, memberi y = −4.

Contoh berjawab 6

Persamaan kuadratik x² + kx + 9 = 0 mempunyai dua punca yang sama. Cari nilai-nilai k yang mungkin.

Dua punca yang sama bermakna pembeza b² − 4ac = 0.
Di sini a = 1, b = k dan c = 9.
Gantikan: k² − 4(1)(9) = 0, jadi k² − 36 = 0.
Selesaikan: k² = 36, jadi k = 6 atau k = −6.

Contoh berjawab 7

Selesaikan 2x² − 4x − 3 = 0 menggunakan rumus kuadratik, dan berikan jawapan anda betul kepada dua tempat perpuluhan.

Kenal pasti a = 2, b = −4, c = −3.
Gantikan ke dalam x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a): x = [4 ± √(16 + 24)] / 4 = [4 ± √40] / 4
√40 = 6.3246…
x = (4 + 6.3246)/4 = 2.58 atau x = (4 − 6.3246)/4 = −0.58

Contoh berjawab 8

Persamaan kuadratik 2x² − 4x + k = 0 mempunyai dua punca yang sama. Cari nilai k.

Bagi punca yang sama, diskriminan b² − 4ac = 0.
Di sini a = 2, b = −4, c = k: (−4)² − 4(2)(k) = 0
16 − 8k = 0
k = 2

Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

Tempah Kelas PercubaanPercubaan berbayar 1 jam · Balasan hari yang sama · dari RM50/jam

Soalan lazim

Bilakah saya patut guna kaedah penyempurnaan kuasa dua berbanding rumus kuadratik?

Penyempurnaan kuasa dua penting apabila soalan meminta titik pusingan, nilai maksimum/minimum, atau paksi simetri, rumus kuadratik sahaja tidak menunjukkan nilai-nilai ini secara terus. Gunakan rumus kuadratik terutamanya apabila anda hanya perlu mencari punca dengan cepat dan pemfaktoran tidak jelas.

Apakah kesilapan biasa semasa menggunakan rumus kuadratik?

Murid sering terlupa tanda ±, tersalah gantikan nilai b yang negatif, atau tersilap pengiraan di dalam punca kuasa dua (b² − 4ac). Gantikan nilai dengan teliti, kekalkan tanda menggunakan kurungan, dan permudahkan diskriminan sepenuhnya sebelum mencari punca kuasa duanya.

Bagaimana diskriminan membantu tanpa perlu menyelesaikan keseluruhan persamaan?

Diskriminan b² − 4ac memberitahu sifat punca sebelum anda menyelesaikannya: positif bermaksud dua punca nyata berlainan, sifar bermaksud satu punca berganda, dan negatif bermaksud tiada punca nyata. Pemeriksa sering meminta anda nyatakan sifat ini tanpa perlu mencari nilai punca sebenar.