Tingkatan 4 · Relationship and Algebra
Fungsi Kuadratik dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
Fungsi kuadratik ialah idea besar pertama Tingkatan 4, lengkung, punca dan bentuk parabola. Kuasainya dan banyak matematik kemudian menjadi lebih mudah.
Apakah Fungsi Kuadratik dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah?
Bab ini tentang fungsi kuadratik berbentuk y = ax² + bx + c dan persamaan yang anda peroleh apabila menyamakannya dengan sifar. Anda belajar mengenali kuadratik, mencari puncanya (nilai x tempat lengkung bertemu paksi-x), dan melakar parabola, termasuk arah bukaannya dan kedudukan titik pusingannya.
Standard kandungan (DSKP)
DSKP KSSM menetapkan standard kandungan ini untuk bab ini:
- 1.1 Fungsi Kuadratik dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
Idea utama
Bentuk parabola
Jika a positif lengkung terbuka ke atas (senyuman); jika a negatif ia terbuka ke bawah. Tanda a ialah perkara pertama untuk dibaca.
Punca persamaan kuadratik
Punca ialah tempat y = 0. Anda boleh mencarinya melalui pemfaktoran, penyempurnaan kuasa dua, atau rumus kuadratik, setiap satu ialah alat untuk soalan berbeza.
Pembeza b² − 4ac
Tandanya memberitahu berapa banyak punca nyata: positif bermaksud dua, sifar bermaksud satu punca berulang, negatif bermaksud tiada.
Titik pusingan
Penyempurnaan kuasa dua menulis semula fungsi supaya titik maksimum atau minimum boleh dibaca terus, kegemaran Kertas 2.
Bagaimana bab ini diuji
Kertas 1 cenderung menguji punca, pembeza dan membaca graf dengan pantas. Kertas 2 pergi lebih dalam: menyempurnakan kuasa dua untuk mencari titik pusingan, melakar dengan pintasan berlabel, atau menyelesaikan masalah konteks sebenar yang menyembunyikan kuadratik.
Bab ini muncul semula secara tidak langsung sepanjang tahun.
Cara mengulang bab ini
Kesilapan lazim untuk dielakkan
- Terlupa ± apabila mengambil punca kuasa dua, jadi satu punca hilang
- Kesilapan tanda apabila pekali a negatif
- Membaca tanda pembeza dengan salah dan tersalah kira punca
Tiga jalan ke punca, dan cara memilihnya
Terdapat tiga cara piawai untuk menyelesaikan ax² + bx + c = 0, dan memilih yang betul menjimatkan masa. Pemfaktoran paling laju apabila puncanya nombor bulat atau pecahan mudah, cari dua nombor yang didarab memberi ac dan ditambah memberi b.
Jika faktor tidak muncul dalam beberapa saat, tukar kepada rumus kuadratik x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, yang dicetak pada helaian rumus peperiksaan dan sentiasa berhasil, jadi ia sandaran selamat apabila soalan meminta jawapan kepada dua tempat perpuluhan (ungkapan itu petunjuk kuat puncanya bukan nombor bulat). Penyempurnaan kuasa dua ialah jalan ketiga; ia lebih perlahan untuk sekadar mencari punca tetapi satu-satunya kaedah yang turut memberi titik pusingan, jadi gunakannya apabila soalan mahukan kedua-duanya.
Penyempurnaan kuasa dua, langkah demi langkah
Penyempurnaan kuasa dua menulis semula ax² + bx + c dalam bentuk a(x − h)² + k, dipanggil bentuk verteks, kerana ia menunjukkan verteks (titik pusingan) terus pada (h, k). Rutinnya tetap: mula-mula keluarkan a daripada sebutan x² dan x sahaja, biarkan c di luar; dalam kurungan, bahagi dua pekali x dan kuasa duakannya, tambah dan tolak kuasa dua itu supaya kurungan menjadi kuasa dua sempurna; kemudian kemaskan pemalar.
Contohnya 2x² − 8x + 5 = 2(x² − 4x) + 5 = 2[(x − 2)² − 4] + 5 = 2(x − 2)² − 3. Setelah dalam bentuk ini anda boleh membaca nilai minimum atau maksimum terus (di sini y terkecil ialah −3, kerana kurungan kuasa dua tidak pernah negatif), iaitu apa yang banyak soalan titik pusingan Kertas 2 sebenarnya tanya.
Membina kuadratik daripada maklumat yang diberi
Sesetengah soalan menjalankan proses secara songsang: bukan diberi fungsi, anda diberi petunjuk dan mesti menulis kuadratik itu. Jika anda tahu puncanya p dan q, mula dari y = a(x − p)(x − q), kerana menyamakan setiap kurungan dengan sifar mengembalikan punca tersebut; a ialah faktor regangan yang anda cari daripada satu titik tambahan pada lengkung.
Jika anda tahu titik pusingan ialah (h, k), mula dari bentuk verteks y = a(x − h)² + k atas sebab sama. Jika hanya diberi bahawa graf melalui titik tertentu, gantikan setiap titik untuk membentuk persamaan dalam a, b dan c dan selesaikannya serentak.
Tabiat yang perlu dibina ialah bertanya bentuk mana memudahkan maklumat diberi dimasukkan, punca mencadangkan bentuk faktor, titik pusingan mencadangkan bentuk verteks, dan titik berselerak mencadangkan bentuk am.
Contoh gaya peperiksaan berjawab
Contoh ini mengaitkan penyempurnaan kuasa dua, titik pusingan dan punca dalam satu soalan Kertas 2 yang tipikal.
- (a) Keluarkan 2 daripada sebutan x sahaja: y = 2(x² − 4x) + 5.
- Separuh daripada −4 ialah −2, dan (−2)² = 4, jadi tambah dan tolak 4 dalam kurungan: y = 2[(x² − 4x + 4) − 4] + 5.
- Tiga sebutan pertama ialah kuasa dua sempurna: y = 2[(x − 2)² − 4] + 5.
- Kembangkan 2 dan gabungkan pemalar: y = 2(x − 2)² − 8 + 5 = 2(x − 2)² − 3.
- (b) Dalam bentuk verteks h = 2 dan k = −3, jadi titik pusingan ialah (2, −3). Kerana a = 2 positif, parabola membuka ke atas, jadi ia minimum.
- (c) Samakan bentuk verteks dengan sifar: 2(x − 2)² − 3 = 0, jadi (x − 2)² = 3/2 = 1.5.
- Punca kuasa duakan kedua-dua belah, kekalkan ±: x − 2 = ±√1.5 = ±1.2247.
- Jadi x = 2 + 1.2247 = 3.2247 atau x = 2 − 1.2247 = 0.7753.
- Semak dengan rumus kuadratik: b² − 4ac = (−8)² − 4(2)(5) = 64 − 40 = 24, dan x = (8 ± √24) / 4 = (8 ± 4.899) / 4, memberi 3.22 dan 0.78, nilai yang sama.
Ulang kaji Fungsi Kuadratik dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
Kaedah
Istilah utama
Soalan lazim
Bagaimana bab ini diuji
Matematik SPM menguji bab ini merentasi Matematik Kertas 1 (Objektif) dan Matematik Kertas 2 (Subjektif), berdasarkan standard kandungan DSKP di atas. Kertas 2 memberi markah untuk kerja, jadi menunjukkan setiap langkah penting.
Kesilapan lazim untuk dielakkan
Terlupa ± apabila mengambil punca kuasa dua, jadi satu punca hilang; Kesilapan tanda apabila pekali a negatif; Membaca tanda pembeza dengan salah dan tersalah kira punca.
Adakah sebarang rumus Fungsi Kuadratik dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah diberi dalam peperiksaan?
Bab ini tiada rumus pada helaian rumus peperiksaan, kerja dijangka daripada ingatan dan kaedah.
Bila patut saya faktorkan dan bila guna rumus?
Cuba faktorkan dahulu apabila punca kelihatan seperti nombor bulat atau pecahan mudah. Jika faktor tidak muncul dalam beberapa saat, tukar kepada rumus kuadratik, ia sentiasa berhasil dan ada pada helaian rumus.
Petunjuk: jika soalan minta jawapan dua tempat perpuluhan, puncanya bukan nombor bulat, jadi terus guna rumus.
Bagaimana saya tahu parabola membuka ke atas atau ke bawah?
Lihat a sahaja, iaitu pekali x². Jika a positif, lengkung membuka ke atas seperti lembah dan titik pusingannya minimum.
Jika a negatif, ia membuka ke bawah seperti bukit dan titik pusingannya maksimum. Sebutan b dan c mengalih lengkung tetapi tidak pernah mengubah arah bukaannya.
Pembeza saya jadi negatif, adakah saya buat silap?
Tidak semestinya. b² − 4ac negatif bermakna persamaan tiada punca nyata, jadi parabola tidak menyentuh paksi-x.
Itu jawapan yang sah dalam SPM, tulis 'tiada punca nyata'. Tetapi silap tanda ialah punca paling biasa, jadi semak semula nilai a, b dan c sebelum anda pastikan.
Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)· SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
Dapatkan bantuan dengan Fungsi Kuadratik dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
Satu-ke-satu, dalam Bahasa Inggeris, dengan kerja anda disemak baris demi baris.
Dapatkan bantuan dengan Fungsi Kuadratik dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah