BM
Tempah Kelas Percubaan

Fungsi Kuadratik dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah · Tingkatan 4

Fungsi Kuadratik dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah: Contoh Berjawab (KBAT)

Set ini menyembunyikan kuadratik dalam situasi sebenar, sebuah taman, bola yang ditendang dan bingkai foto, jadi anda perlu membentuk persamaan sendiri sebelum menyelesaikannya. Sesuai untuk pelajar yang bersedia menukar ayat kepada matematik.

Ditulis oleh pasukan editorial spmmath.com.my.

Contoh berjawab 1

Sebuah taman sayur berbentuk segi empat tepat 3 m lebih panjang daripada lebarnya. Luasnya ialah 40 m².

Cari lebar dan panjang taman itu.

  1. Biar lebar ialah x m; maka panjangnya (x + 3) m.
  2. Luas = lebar × panjang, jadi x(x + 3) = 40.
  3. Kembang dan susun semula: x² + 3x − 40 = 0.
  4. Faktorkan: (x + 8)(x − 5) = 0, jadi x = −8 atau x = 5.
  5. Lebar tidak boleh negatif, jadi tolak x = −8; lebarnya x = 5 m.
  6. Panjangnya x + 3 = 5 + 3 = 8 m.

Contoh berjawab 2

Sebiji bola ditendang lurus ke atas. Ketinggiannya h meter selepas t saat ialah h = 20t − 5t².

(a) Selepas berapa saat bola itu kembali ke tanah? (b) Apakah ketinggian maksimum yang dicapai?

  1. (a) Di tanah h = 0, jadi 20t − 5t² = 0.
  2. Faktorkan: 5t(4 − t) = 0, jadi t = 0 atau t = 4.
  3. t = 0 ialah masa tendangan; bola kembali ke tanah pada t = 4 s.
  4. (b) Sempurnakan kuasa dua: h = −5t² + 20t = −5(t² − 4t) = −5((t − 2)² − 4).
  5. Kembang: h = −5(t − 2)² + 20, jadi nilai maksimum ialah 20 apabila t = 2.
  6. Ketinggian tertinggi ialah 20 m, dicapai selepas 2 saat.

Contoh berjawab 3

Sekeping foto segi empat tepat berukuran 20 cm × 15 cm. Ia diletakkan dalam alas berbingkai dengan lebar seragam x cm di sekelilingnya.

Jumlah luas foto dan bingkai bersama ialah 500 cm². Cari lebar bingkai itu.

  1. Bingkai menambah x pada setiap sisi, jadi segi empat luar ialah (20 + 2x) × (15 + 2x) cm.
  2. Jumlah luas: (20 + 2x)(15 + 2x) = 500.
  3. Kembang: 300 + 40x + 30x + 4x² = 500, jadi 4x² + 70x + 300 = 500.
  4. Susun semula: 4x² + 70x − 200 = 0, kemudian bahagi dengan 2: 2x² + 35x − 100 = 0.
  5. Faktorkan: (2x − 5)(x + 20) = 0, jadi x = 2.5 atau x = −20.
  6. Lebar tidak boleh negatif, jadi tolak x = −20; lebar bingkai ialah x = 2.5 cm.

Contoh berjawab 4

Sebuah segi tiga bersudut tegak mempunyai tapak yang 7 cm lebih panjang daripada tingginya. Luasnya ialah 30 cm².

Cari tinggi dan tapaknya.

  1. Biar tinggi ialah h cm; maka tapak ialah (h + 7) cm.
  2. Luas segi tiga = ½ × tapak × tinggi, jadi ½ × (h + 7) × h = 30.
  3. Darab kedua-dua belah dengan 2: h(h + 7) = 60, iaitu h² + 7h − 60 = 0.
  4. Faktorkan: (h + 12)(h − 5) = 0, jadi h = −12 atau h = 5.
  5. Panjang tidak boleh negatif, jadi h = 5; tapak = 5 + 7 = 12.

Contoh berjawab 5

Hasil darab dua nombor genap positif berturutan ialah 168. Cari kedua-dua nombor itu.

  1. Biar nombor genap yang lebih kecil ialah n; nombor genap seterusnya ialah n + 2.
  2. Hasil darabnya: n(n + 2) = 168, iaitu n² + 2n − 168 = 0.
  3. Faktorkan: (n + 14)(n − 12) = 0, jadi n = −14 atau n = 12.
  4. Nombor itu positif, jadi n = 12 dan n + 2 = 14.

Contoh berjawab 6

Seorang peniaga membelanjakan RM 60 untuk membeli buku nota yang serupa. Jika setiap buku nota berharga RM 1 lebih murah, dia boleh membeli 5 buah lagi dengan RM 60 yang sama.

Cari harga asal sebuah buku nota.

  1. Biar harga asal ialah RM x sebuah, jadi bilangan yang dibeli ialah 60/x.
  2. Pada RM (x − 1) sebuah dia boleh membeli 60/(x − 1), iaitu 5 lebih: 60/(x − 1) = 60/x + 5.
  3. Darab keseluruhan dengan x(x − 1): 60x = 60(x − 1) + 5x(x − 1).
  4. Permudahkan: 60x = 60x − 60 + 5x² − 5x, jadi 5x² − 5x − 60 = 0, iaitu x² − x − 12 = 0.
  5. Faktorkan: (x − 4)(x + 3) = 0, jadi x = 4 atau x = −3; harga mesti positif, jadi x = 4.

Contoh berjawab 7

Sebuah kebun durian ditanam dalam beberapa baris. Setiap baris mempunyai 5 lebih pokok berbanding bilangan baris.

Kesemuanya terdapat 176 batang pokok durian di dalam kebun itu. Cari bilangan baris dan bilangan pokok bagi setiap baris.

  1. Biar bilangan baris ialah r. Maka bilangan pokok bagi setiap baris ialah r + 5.
  2. Jumlah pokok: r(r + 5) = 176, maka r² + 5r − 176 = 0
  3. Selesaikan: r = [−5 ± √(25 + 704)] / 2 = [−5 ± √729] / 2 = [−5 ± 27] / 2
  4. Tolak punca negatif; r = 11 (bilangan baris mestilah positif)
  5. Pokok bagi setiap baris = 11 + 5 = 16; semak: 11 × 16 = 176 ✓

Contoh berjawab 8

Seorang petani ingin memagari sebidang tanah segi empat tepat bersebelahan sebatang sungai lurus, jadi tiada pagar diperlukan di tepi sungai. Menggunakan 80 m pagar untuk tiga sisi yang lain, petani itu ingin mengelilingi kawasan seluas 750 m².

Cari dimensi yang mungkin bagi tanah itu.

  1. Biar lebar berserenjang dengan sungai ialah x m. Dua bahagian lebar menggunakan 2x m pagar, meninggalkan (80 − 2x) m untuk sisi yang selari dengan sungai.
  2. Luas: x(80 − 2x) = 750, maka 80x − 2x² = 750, memberikan 2x² − 80x + 750 = 0, atau x² − 40x + 375 = 0
  3. Selesaikan: x = [40 ± √(1600 − 1500)] / 2 = [40 ± √100] / 2 = [40 ± 10] / 2
  4. x = 25 atau x = 15
  5. Apabila x = 15: panjang = 80 − 30 = 50, memberikan 15 m × 50 m. Apabila x = 25: panjang = 80 − 50 = 30, memberikan 25 m × 30 m. Semak: 15 × 50 = 750 ✓ dan 25 × 30 = 750 ✓

Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

Tempah Kelas PercubaanPercubaan berbayar 1 jam · Balasan hari yang sama · dari RM50/jam

Soalan lazim

Bagaimana saya menukar soalan berayat kepada persamaan kuadratik?

Kenal pasti nilai yang tidak diketahui, tetapkan sebagai x dengan jelas, kemudian terjemahkan hubungan dalam soalan (luas, perimeter, hasil darab, dan sebagainya) kepada satu persamaan. Soalan KBAT memberi markah untuk persamaan yang dibentuk dengan betul walaupun sebelum diselesaikan, tulis takrifan pemboleh ubah dan langkah pembentukan persamaan dengan jelas.

Apakah yang dicari oleh pemeriksa dalam soalan pengoptimuman yang melibatkan fungsi kuadratik?

Mereka mahu anda menyatakan kuantiti yang perlu dimaksimum atau diminimumkan sebagai fungsi kuadratik, kemudian guna penyempurnaan kuasa dua untuk mencari titik pusingan. Markah diberikan kerana berjaya mengenal pasti sama ada titik pusingan itu memberikan nilai maksimum atau minimum mengikut konteks soalan.

Mengapa soalan KBAT kuadratik sering menolak salah satu daripada dua punca yang diperoleh?

Kerana kuantiti sebenar seperti panjang, masa, atau harga tidak boleh bernilai negatif. Selepas menyelesaikan persamaan, sentiasa semak kedua-dua punca berdasarkan konteks soalan dan tolak nilai yang tidak masuk akal secara fizikal, pemeriksa khusus menguji sama ada anda ingat langkah penaakulan ini.

Tempah Kelas Percubaan

Tempah Kelas Percubaan
Percubaan berbayar 1 jam · Balasan hari yang samadari RM50/jam
Tempah Kelas Percubaan