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一元二次函数与方程 · 中四

一元二次函数与方程：例题（较易）

本组专练用因式分解解二次方程，每位中四学生应先掌握的方法。适合在学习更难技巧前建立信心。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

用因式分解解二次方程 x² + 7x + 12 = 0。

  1. 找两个相乘得 +12、相加得 +7 的数。
  2. 这两个数是 3 和 4，因此分解为 (x + 3)(x + 4) = 0。
  3. 令每个因式为零：x + 3 = 0 或 x + 4 = 0。
  4. 分别求解：x = −3 或 x = −4。

例题 2

用因式分解解 x² − 5x − 14 = 0。

  1. 找两个相乘得 −14、相加得 −5 的数。
  2. 这两个数是 −7 和 +2，因此分解为 (x − 7)(x + 2) = 0。
  3. 令每个因式为零：x − 7 = 0 或 x + 2 = 0。
  4. 分别求解：x = 7 或 x = −2。

例题 3

用因式分解解 x² − 49 = 0。

  1. 认出这是平方差：49 = 7²，所以 x² − 49 = x² − 7²。
  2. 用 a² − b² = (a − b)(a + b) 分解：(x − 7)(x + 7) = 0。
  3. 令每个因式为零：x − 7 = 0 或 x + 7 = 0。
  4. 分别求解：x = 7 或 x = −7。

例题 4

用因式分解解二次方程 x² − 8x + 15 = 0。

  1. 找两个相乘得 +15、相加得 −8 的数。
  2. 两个数都是负数：−3 和 −5，因为 (−3)(−5) = 15 且 (−3) + (−5) = −8。
  3. 分解为 (x − 3)(x − 5) = 0。
  4. 令每个因式为零：x − 3 = 0 或 x − 5 = 0，所以 x = 3 或 x = 5。

例题 5

用因式分解解 x² + 3x − 10 = 0。

  1. 找两个相乘得 −10、相加得 +3 的数。
  2. 这两个数是 +5 和 −2，因为 5 × (−2) = −10 且 5 + (−2) = 3。
  3. 分解为 (x + 5)(x − 2) = 0。
  4. 令每个因式为零：x + 5 = 0 或 x − 2 = 0，所以 x = −5 或 x = 2。

例题 6

用因式分解解 x² − 6x = 0。

  1. 没有常数项，因此提出公因式 x。
  2. 分解为 x(x − 6) = 0。
  3. 令每个因式为零：x = 0 或 x − 6 = 0。
  4. 所以 x = 0 或 x = 6。

例题 7

用因式分解法解二次方程 x² − 9x + 20 = 0。

  1. 找出两个数，使它们的积为20、和为−9：−4和−5。
  2. 因式分解：(x − 4)(x − 5) = 0
  3. x − 4 = 0 或 x − 5 = 0
  4. x = 4 或 x = 5

例题 8

用因式分解法解二次方程 x² + 5x − 24 = 0。

  1. 找出两个数，使它们的积为−24、和为5：8和−3。
  2. 因式分解：(x + 8)(x − 3) = 0
  3. x + 8 = 0 或 x − 3 = 0
  4. x = −8 或 x = 3

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

怎样最快判断一个函数是不是二次函数？

先看x的最高次方，如果是x²（没有更高次方），并且写成f(x) = ax² + bx + c的一般式，同时a≠0，那就是二次函数。很多学生忽略了a≠0这个条件，一旦a=0，函数其实就变成一次函数了，这是常见的失分点。

用因式分解法解二次方程时，哪个错误最容易丢分？

最常见的错误是没有先把方程整理成ax² + bx + c = 0的标准形式就急着分解，或者在拆分中间项时弄错正负号。正确做法是先移项使右边为零，完整因式分解成两个括号，再分别令每个括号等于零，求出两个根。

为什么要画二次函数的草图？草图里应该标出什么？

画草图是为了考察你是否真正理解图像的形状，而不只是会计算。正确的草图要标出开口方向(由a的正负决定)、x轴的交点（即根），以及转折点或对称轴，阅卷老师是按每个标注正确的特征给分的，不是随便画条曲线就有分。

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