一元二次函数与方程
如何用二次公式求解
当二次方程无法因式分解、又需要精确求根时，使用二次公式。
开始之前
- 把方程整理成 ax² + bx + c = 0
- 用括号代入负数
- 用计算器求平方根
何时使用
当二次方程无法因式分解、又需要精确求根时，使用二次公式。
步骤
- 把方程写成 ax² + bx + c = 0，并连符号读出 a、b、c。
- 先算判别式 b² − 4ac，它告诉你预期有几个根。
- 把 a、b、c 代入 x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)。
- 算出两个值，把 ± 当作两个独立情形保留。
- 只在最后一步按题目要求的精度四舍五入。
例题
解 x² + 5x + 3 = 0，答案准确到 2 个小数位。
- 与 ax² + bx + c = 0 比较：a = 1，b = 5，c = 3。
- 判别式 b² − 4ac = 5² − 4(1)(3) = 25 − 12 = 13，为正，所以有两个实根。
- 代入 x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) = (−5 ± √13) / 2。
- 两种情况：x = (−5 + 3.6056)/2 = −0.6972，x = (−5 − 3.6056)/2 = −4.3028。
- 最后一步才四舍五入到 2 个小数位：x ≈ −0.70 或 x ≈ −4.30。
第二个例题（略有变化）
这里 a 不是 1 且 c 为负，所以 b² − 4ac 里的符号要格外小心。 解 2x² − 4x − 3 = 0，答案准确到 2 个小数位。
- 与 ax² + bx + c = 0 比较：a = 2，b = −4，c = −3。
- 判别式 b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(−3) = 16 + 24 = 40，为正，所以有两个实根。
- 代入：x = (−(−4) ± √40) / (2×2) = (4 ± √40) / 4。
- 两种情况：x = (4 + 6.3246)/4 = 2.5811，x = (4 − 6.3246)/4 = −0.5811。
- 最后一步才四舍五入到 2 个小数位：x ≈ 2.58 或 x ≈ −0.58。
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常见问题
解之前怎么知道有几个根？
先算判别式 b² − 4ac。若为正，有两个不同的实根；若恰好为零，有一个重根；若为负，没有实根。
提早检查就能知道会得到哪种答案。
我该不该在中途把平方根四舍五入？
不要，只在最后一步才四舍五入。太早把 √13 或 √40 取近似，小误差会在除法中放大，最终答案可能出错。
计算时保留计算器完整数值，只在最后一行按题目要求取近似。
这里的 ± 号到底是什么意思？
± 表示要算两次：一次用加，一次用减。每种选择给出一个根，所以二次方程通常有两个答案。
把它们写成两个独立的情况，就不会不小心漏掉其中一个根。