一元二次函数与方程
如何画二次函数草图
用它画出抛物线，显示其形状、截距与顶点。
开始之前
- 根据 a 的符号判断抛物线开口方向
- 通过代入或求解找截距
- 用配方法求转折点
何时使用
用它画出抛物线，显示其形状、截距与顶点。
步骤
- 看 a 的符号：正开口向上，负开口向下。
- 令 x = 0 求 y 轴截距。
- 解方程求 x 轴截距（根）。
- 用配方法求顶点。
- 标出这些特征，画一条平滑曲线穿过它们。
例题
画出 y = x² − 4x + 3 的图，标出它的截距和转折点。
- x² 的系数 a = 1，为正，所以抛物线开口向上。
- 令 x = 0 求 y 截距：y = 3，得点 (0, 3)。
- 解 x² − 4x + 3 = 0 求 x 截距，因式分解得 (x − 1)(x − 3) = 0，所以 x = 1 和 x = 3。
- 用配方法求转折点：x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1，所以转折点是 (2, −1)，是最小点。
- 标出 (0, 3)、(1, 0)、(3, 0) 和 (2, −1)，再画一条平滑的 U 形曲线穿过它们。
第二个例题（略有变化）
这里 a 为负，所以抛物线开口向下，转折点是最大点而不是最小点。 画出 y = −x² + 2x + 3 的图，标出它的截距和转折点。
- x² 的系数 a = −1，为负，所以抛物线开口向下。
- 令 x = 0 求 y 截距：y = 3，得点 (0, 3)。
- 解 −x² + 2x + 3 = 0 求 x 截距；两边乘以 −1 得 x² − 2x − 3 = 0，因式分解得 (x − 3)(x + 1) = 0，所以 x = 3 和 x = −1。
- 用配方法求转折点：y = −(x² − 2x) + 3 = −((x − 1)² − 1) + 3 = −(x − 1)² + 4，所以转折点是 (1, 4)，是最大点。
- 标出 (0, 3)、(3, 0)、(−1, 0) 和 (1, 4)，再画一条平滑的 ∩ 形曲线穿过它们。
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常见问题
画草图一定要每个特征都有吗？
要画好草图，需要开口方向、y 截距、若存在的 x 截距，以及转折点。它们一起确定形状和位置。
草图不按比例，但应清楚地把这些关键特征画在相对坐标轴的正确位置上。
如果二次式没有 x 截距怎么办？
若方程没有实根，曲线不会与 x 轴相交。判别式 b² − 4ac 为负就能看出。
这时靠开口方向、y 截距和转折点来定位曲线，它整条在 x 轴上方或整条在下方。
转折点总是在两根中间吗？
是的，当两根存在时，转折点正好在它们中间，因为抛物线是对称的。所以它的 x 坐标是两根的平均值。
配方法给出同样的 x 值，还给出 y 值，而只算中点是得不到 y 的。