一元二次函数与方程
如何因式分解二次式
当二次式能整齐地拆成括号时，用因式分解快速求解。
开始之前
- 把二次式写成 ax² + bx + c = 0
- 找一个数的因数对
- 处理正数和负数
何时使用
当二次式能整齐地拆成括号时，用因式分解快速求解。
步骤
- 把方程写成 ax² + bx + c = 0。
- 找两个数，乘积为 a×c、和为 b。
- 用这两个数拆开中间项。
- 两两配对因式分解，得到两个括号。
- 令每个括号等于零，求两个根。
例题
用因式分解解 x² + 7x + 12 = 0。
- 方程已是 ax² + bx + c = 0 的形式，a = 1，b = 7，c = 12。
- 找两个数，相乘等于 a × c = 12，相加等于 b = 7：即 3 和 4。
- 拆分中间项：x² + 3x + 4x + 12 = 0。
- 分组因式分解：x(x + 3) + 4(x + 3) = 0，得 (x + 3)(x + 4) = 0。
- 令每个括号为零：x + 3 = 0 得 x = −3，x + 4 = 0 得 x = −4。
第二个例题（略有变化）
x² 的系数不是 1 且 c 为负，所以其中一个根是分数。 用因式分解解 3x² − 5x − 2 = 0。
- 方程是 ax² + bx + c = 0 的形式，a = 3，b = −5，c = −2。
- 找两个数，相乘等于 a × c = 3 × (−2) = −6，相加等于 b = −5：即 −6 和 1。
- 拆分中间项：3x² − 6x + x − 2 = 0。
- 分组因式分解：3x(x − 2) + 1(x − 2) = 0，得 (x − 2)(3x + 1) = 0。
- 令每个括号为零：x − 2 = 0 得 x = 2，3x + 1 = 0 得 x = −1/3。
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常见问题
如果找不到两个合适的整数怎么办？
那这个二次式无法整齐地因式分解，应改用二次公式或配方法。因式分解只在有漂亮整数相乘等于 a × c、相加等于 b 时才行。
若试过各因数对都不合，就停下改用别的方法。
为什么要令每个括号等于零？
若两个数相乘得零，其中至少一个必为零。当二次式写成 （括号）（括号） = 0 后，每个括号都是可能为零的因式。
令每个括号为零，就得到使整个乘积为零的两个 x 值。
拆分时两个数的顺序重要吗？
不重要。拆中间项时，两个数按任意顺序写，最终的括号相同。
对 3x² − 5x − 2，写 −6x + x 或 x − 6x 都行，都因式分解到同样答案。只要小心让每个数带着自己的符号。