一元二次函数与方程 · 中四
认识根与判别式
二次方程的根是使 ax² + bx + c = 0 成立的 x 值，而判别式 b² − 4ac 在你动手求解之前就告诉你有几个这样的根。
根是函数值为零的地方
二次方程的根是使 ax² + bx + c 等于零的 x 值。在图形上，它们正是抛物线与 x 轴相交的点，因为该轴就是直线 f(x) = 0。
二次曲线可能与轴相交两次、只相切一次，或完全不相交，因此它可能有两个根、一个重根，或没有实根。
判别式替你数出根的个数
判别式是二次公式中根号底下的部分：b² − 4ac。它的符号无需解出整个方程就能确定实根的个数。
若 b² − 4ac > 0，有两个不同的根；若等于 0，有一个重根，抛物线恰好与 x 轴相切；若为负，则没有实根，曲线始终不触及该轴。例如 x² − 4x + 4，b² − 4ac = 16 − 16 = 0，所以只有一个重根。
辨认判别式题
当题目说方程有两个相等的根、没有实根，或曲线不与 x 轴相交时，其实就是要你考虑 b² − 4ac。一个常见的误解是把没有实根读成没有图形，抛物线依然存在，只是飘在 x 轴之外。
另一个是把一个重根当成完全没有根；根是存在的，只是两个解落在同一点上。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
判别式到底能预测什么？
判别式 b² − 4ac 能在解方程之前预测根的类型：大于零表示有两个不同的实根，等于零表示有一个重根（两根相等），小于零则表示没有实根。Paper 1 常常要求你直接根据判别式的值判断根的类型，而不需要真正解出方程。
计算判别式时最常见的错误是什么？
最常见的错误是 b 或 c 为负数时的符号错误，代入时一定要加括号，例如 b = −3 时，b² 应写成 (−3)² 而不是 −3²。另外，若没有先把方程整理成 ax² + bx + c = 0 的标准形式，得到的 a、b、c 也会是错的。
不画图的情况下，判别式怎么和图形联系起来？
判别式还能告诉你抛物线与 x 轴相交的次数：大于零时相交两次，等于零时只切一点（相切），小于零时完全不相交。这样即使不画图，也能单靠计算回答“图形是否与 x 轴相交”这类问题，考试时能节省时间。