集合的运算
如何用文氏图做集合运算
用文氏图求交集、并集与复合集合运算，尤其是文字题。
开始之前
- 认识符号 ∪（并集）、∩（交集）和补集 A′。
- 明白全集是所有元素的总数。
- 能做整数加减，并会解简单的一元一次方程。
何时使用
用文氏图求交集、并集与复合集合运算，尤其是文字题。
步骤
- 把全集画成长方形，每个集合画成里面重叠的圆。
- 先填已知，从重叠部分（交集）开始。
- 用所给的总数推出其余区域。
- 把题目要求的区域涂上阴影。
- 数出或列出阴影区域内的元素。
例题
在一个 40 人的班级里，22 人修读高级数学，18 人修读物理，10 人两科都修。有多少人修读高级数学或物理，又有多少人两科都不修？
- 把全集（40 名学生）画成一个长方形，里面两个相交的圆，A 代表高级数学，P 代表物理。
- 先填重叠部分：两科都修的有 10 人，所以在交集处写 10。
- 由总数求其余：只修 A = 22 − 10 = 12，只修 P = 18 − 10 = 8，两科都不修 = 40 − (12 + 10 + 8) = 40 − 30 = 10。
- 把 “高级数学或物理” 的区域涂上，两个圆合起来（并集）。
- 数涂色区域：12 + 10 + 8 = 30 人至少修一科，另有 10 人留在圆外。
第二个例题（略有变化）
这次两者都做的人数是未知的，因此你要列并解一元一次方程，而不是直接相减。 在一组 50 人中，30 人喜欢茶，25 人喜欢咖啡，5 人两者都不喜欢。
若有 x 人两者都喜欢，求 x 的值。
- 把全集（50 人）画成长方形，里面两个相交的圆，T 代表茶，C 代表咖啡。
- 先用未知数填重叠部分：在交集处写 x（两者都喜欢的人）。
- 用 x 表示其余部分：只喜欢茶 = 30 − x，只喜欢咖啡 = 25 − x，都不喜欢 = 5；四个区域相加为 50，所以 (30 − x) + x + (25 − x) + 5 = 50，得 60 − x = 50，故 x = 10。
- 把题目要求的区域涂上，交集（两者都喜欢的人）。
- 数涂色区域：x = 10，所以 10 人两者都喜欢。
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常见问题
为什么要先填重叠部分？
重叠部分（交集）同属两个圆，已经算进各自的总数里。若先填外围，就会把这些人算两次。
先把 “两者都有” 的数字写在中间，再从各总数里减掉它，才能得到正确的 “只有 A” 和 “只有 B” 的人数。
两个集合都不属于的人放在哪里？
把这个数字写在长方形内、两个圆之外。它仍属于全集，所以要算进总数。
求法是从全集总数减去圆内所有人：都不属于 = n(ξ) − n(A ∪ B)。忘了这一区域是常见的失分原因。
什么时候用公式而不画图？
公式 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) 与画图得出相同答案，只需并集时很快。当题目有多个区域、有 “都不属于” 的一组，或有要求解的未知数时，就画文氏图，这样更容易看清楚。