中四 · Discrete Mathematics
集合的运算
集合把对象归到一起，本章讲的是把这些组合起来，交集、并集与文氏图。
什么是集合的运算？
你在早年已接触过集合；这里更深入到集合的运算。本章涵盖交集（两个集合共有的部分）、并集（任一集合中的所有元素）与复合运算，都借助文氏图，把冗长的题目变成可以推理的图形。
内容标准（DSKP）
DSKP KSSM 为本章设定了以下内容标准：
- 4.1 集合的交集
- 4.2 集合的并集
- 4.3 集合的复合运算
核心概念
交集与并集
交集（∩）是重叠部分；并集（∪）是合起来的全部。读懂题目要哪一个，就成功了一半。
文氏图作为工具
为文氏图的区域涂色，比单看符号更容易看清复合运算。
补集与全集
补集是集合之外、全集之内的所有元素，常是分数悄悄丢失的地方。
本章如何考
试卷二通常给一个文氏图让你涂色，或一段文字情境让你转成集合记号，有时每个区域还有数字要算。所考的技能是词语、符号与图形之间的细致转换。
如何复习本章
要避开的常见错误
- 复合运算涂错区域
- 忘了补集包含全集的边界
- 时间压力下把 ∩ 和 ∪ 符号混淆
不重复计数：n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)
当题目给出每个集合有多少元素，并问并集有多少个时，直接把两个总数相加会重复计算同时属于两个集合的元素，因为它们在每个总数里各被算了一次。公式 n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) 通过恰好减去一次重叠部分来纠正。
它不在公式表上，所以要背下来。填韦恩图更整齐的习惯是从中间开始：先写“两者都有”的区域，从每个集合减去它得到“只属于”的区域，最后再处理两个集合之外的部分。
德摩根定律：并集或交集的补集
两条涂色恒等式能省去许多猜测。(A∪B)' 等于 A'∩B'：“不在任一集合里”等同于“既在 A 外又在 B 外”。
(A∩B)' 等于 A'∪B'：“不同时属于两者”等同于“在 A 外或在 B 外”。换句话说，取补集会把并集变交集、交集变并集。
如果要涂 (A∪B)' 而拿不准，先涂 A∪B，再涂剩下的全部，两片涂色绝不能重叠，合起来必须填满整个全集 ξ。
涂组合运算的安全顺序
像 A∩(B∪C)' 这样的组合式看着吓人，但只要把它当成算术、先算括号就好。先处理内层 B∪C，再取补集 (B∪C)'，最后与 A 求交集。
可靠的做法是把每一部分用不同方向轻轻涂上，比如 A 用竖线、(B∪C)' 用横线，最终区域就是两种涂色交叉的地方。这样就把“涂错区域”的错误变成一个可检查的机械流程，对三集合图和两集合图同样适用。
一道考试式例题
这个例子从重叠部分往外填满两集合韦恩图的每个区域，是第二试卷很常见的题型。
- (a) 用 n(S∪M) = n(S) + n(M) − n(S∩M) = 28 + 24 − 10 = 42。
- (b) “两个都不参加”是 S∪M 在 50 名学生中的补集：50 − n(S∪M) = 50 − 42 = 8。
- (c) “只参加科学学会”要去掉也在数学学会的 10 人：n(S) − n(S∩M) = 28 − 10 = 18。
- 检验：只 S（18）+ 两者（10）+ 只 M（24 − 10 = 14）+ 都不（8）= 50，与班级人数相符。
学习集合的运算
常见问题
本章如何考
SPM 数学通过 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 考查本章，依据上述 DSKP 内容标准。试卷二为步骤给分，因此写出每一步很重要。
要避开的常见错误
复合运算涂错区域; 忘了补集包含全集的边界; 时间压力下把 ∩ 和 ∪ 符号混淆.
集合的运算有公式在考试中提供吗？
本章在考试公式表上没有公式，步骤需靠记忆与方法。
怎么记哪个符号是交集、哪个是并集？
交集 ∩ 是共有的部分，只包含同时属于两个集合的元素，形状像一座桥或倒扣的 U。并集 ∪ 是把两个集合的一切合起来，形状像一个把两边都舀起来的杯子。
记忆窍门：∪ 向上开口像杯子，把所有元素收进来，那就是并集。
在 n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) 里，为什么要减？
因为同时属于 A 和 B 的元素，在你把 n(A) 和 n(B) 相加时被算了两次，每个总数里各一次。减去 n(A∩B) 就去掉多算的那一次，于是每个元素恰好被算一次。
若两集合没有共同元素，n(A∩B) 为 0，并集就是 n(A) + n(B)。
补集 A' 到底是什么意思？
A' 是全集 ξ 里所有不属于 A 的元素。所以它取决于 ξ 是什么：若 ξ 是 1 到 10 的数、A 是其中的偶数，那么 A' 就是 1、3、5、7、9。
在韦恩图上，A' 是圆 A 之外、但仍在 ξ 矩形之内的整个区域。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)· SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)