集合的运算 · 中四
集合的运算：例题（较易）
逐一练习三种核心集合运算，交集、并集与补集，并读懂简单的两集合文氏图。适合在组合运算之前建立信心。
例题 1
全集为 ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，其中 A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {2, 4, 6, 8}。列出 A ∩ B 与 A ∪ B 的元素。
- A ∩ B 指同时属于 A 和 B 的元素，逐一用 A 的元素对照 B。
- 2 和 4 同时出现在两个集合里，所以 A ∩ B = {2, 4}。
- A ∪ B 指属于 A 或 B（或两者）的所有元素，每个只列一次。
- 把 {1, 2, 3, 4, 5} 与 {2, 4, 6, 8} 合并，公共元素只写一次：A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}。
例题 2
已知全集 ξ = {x : 1 ≤ x ≤ 10，x 为整数}，P = {ξ 中的偶数}，列出补集 P′ 的元素。
- 先把 ξ 完整写出：ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}。
- 列出 P，即偶数：P = {2, 4, 6, 8, 10}。
- P′ 是 ξ 中不属于 P 的所有元素。
- 去掉偶数，剩下 P′ = {1, 3, 5, 7, 9}。
例题 3
在一个两集合文氏图中，只属于 A 的区域为 7，重叠区 A ∩ B 为 3，只属于 B 的区域为 5，两集合之外的区域为 4。求 n(A ∪ B) 与 n(ξ)。
- n(A ∪ B) 统计两圆之内的全部：只属 A + 重叠 + 只属 B。
- n(A ∪ B) = 7 + 3 + 5 = 15。
- n(ξ) 统计所有人，所以还要加上圆外区域。
- n(ξ) = 15 + 4 = 19。
例题 4
已知 ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，列出 (A ∩ B)′ 的元素。
- 先求 A ∩ B：A 与 B 的公共元素是 3 和 4，所以 A ∩ B = {3, 4}。
- 补集 (A ∩ B)′ 是 ξ 中所有不属于 A ∩ B 的元素。
- 从 ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 中去掉 3 和 4。
- (A ∩ B)′ = {1, 2, 5, 6, 7, 8}。
例题 5
集合 A 与集合 B 满足 n(A) = 12，n(B) = 8，n(A ∩ B) = 5。求 n(A ∪ B)。
- 使用公式 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)。
- 代入数值：n(A ∪ B) = 12 + 8 − 5。
- 先加后减：20 − 5 = 15。
例题 6
已知 ξ = {18 的因数}，A = {18 的偶因数}，B = {18 的奇因数}，列出 A ∩ B 与 A ∪ B。
- 列出 ξ：18 的因数是 1、2、3、6、9 和 18。
- A = 偶因数 = {2, 6, 18}；B = 奇因数 = {1, 3, 9}。
- A ∩ B：没有因数既是偶数又是奇数，所以 A ∩ B = { }（空集）。
- A ∪ B：合并所有元素 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}。
例题 7
全集 ξ 有25个元素。集合 A 有15个元素。
求 n(A′)。
- n(A′) = n(ξ) − n(A)
- n(A′) = 25 − 15
- n(A′) = 10
例题 8
已知 ξ = {1, 2, 3, …, 12},C = {ξ 中3的倍数},D = {ξ 中4的倍数},列出 C ∩ D 与 C ∪ D 的元素。
- C = {3, 6, 9, 12}
- D = {4, 8, 12}
- C ∩ D = {12}
- C ∪ D = {3, 4, 6, 8, 9, 12}
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
子集符号和元素符号有什么区别？
“∈”表示某个元素属于某个集合（用于单个元素），而“⊆”表示一整个集合包含在另一个集合里面。这两个符号最容易混用，做题前先确认自己比较的是“元素与集合”，还是“集合与集合”。
什么时候该用文氏图，什么时候该用集合符号表示？
文氏图适合用来直观地看出并数出集合之间重叠的部分，而集合符号(∩、∪、′)则用于写出精确的答案。很多题目两者都需要，先画图看清各个区域，再写出对应的符号表达式。
怎样才能避免在求补集时出错？
记住补集(A′)包含的是全集中所有“不属于”A的元素。常见的错误是忘了看题目给出的全集到底是什么，所以求任何补集之前，一定要先确认全集的范围。