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集合的运算 · 中四

集合的运算：例题（KBAT）

把集合方法藏在情境里的真实题目，书店调查、活动志愿者、三景点游览。每题都要你先把故事转成集合，再把答案多推进一步。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

某书店一天记录了 250 名顾客。140 人至少买了一本小说，90 人至少买了一件文具，40 人小说和文具都买了。

其余的两样都没买。(a) 有多少人两样都没买？

(b) 只买小说的人占全部顾客的百分之几？

  1. 设 N = 买了小说，S = 买了文具。n(N) = 140，n(S) = 90，n(N ∩ S) = 40。
  2. n(N ∪ S) = n(N) + n(S) − n(N ∩ S) = 140 + 90 − 40 = 190。
  3. (a) 两样都没买 = 总数 − n(N ∪ S) = 250 − 190 = 60。
  4. 只买小说 = n(N) − n(N ∩ S) = 140 − 40 = 100。
  5. (b) 百分比 = (100 ÷ 250) × 100% = 40%。

例题 2

某居民委员会有 50 名志愿者，每人至少参与两项活动之一：运动会（S）或美食嘉年华（F）。32 人帮运动会，27 人帮美食嘉年华。

每名运动会帮手需要一件蓝色 T 恤，每名美食嘉年华帮手需要一件绿色 T 恤。(a) 有多少志愿者两项活动都帮？

(b) 一共需要多少件 T 恤？

  1. 每名志愿者至少帮一项活动，所以没有人在外：n(S ∪ F) = 50。
  2. n(S ∪ F) = n(S) + n(F) − n(S ∩ F)，所以 50 = 32 + 27 − n(S ∩ F)。
  3. (a) n(S ∩ F) = 59 − 50 = 9，有 9 名志愿者两项都帮。
  4. 每名运动会帮手得一件蓝 T（32），每名美食嘉年华帮手得一件绿 T（27）；两项都帮的人两种各得一件。
  5. (b) T 恤总数 = 32 + 27 = 59。

例题 3

学校旅行时，80 名学生可参观三个景点：动物园（Z）、博物馆（M）和水族馆（Q）。记录显示 n(Z) = 35，n(M) = 30，n(Q) = 28，n(Z ∩ M) = 12，n(Z ∩ Q) = 10，n(M ∩ Q) = 9，n(Z ∩ M ∩ Q) = 5。

(a) 有多少学生恰好参观了两个景点？(b) 有多少学生三个都没参观？

  1. 从中心开始：n(Z ∩ M ∩ Q) = 5。
  2. 恰好两项的区域 = 每对减去中心：只 Z∩M = 12 − 5 = 7，只 Z∩Q = 10 − 5 = 5，只 M∩Q = 9 − 5 = 4。
  3. (a) 恰好参观两个景点 = 7 + 5 + 4 = 16 名学生。
  4. 用容斥原理求并集：n(Z ∪ M ∪ Q) = 35 + 30 + 28 − 12 − 10 − 9 + 5 = 67。
  5. (b) 三个都没参观 = 总数 − 并集 = 80 − 67 = 13 名学生。

例题 4

一家旅游公司就游客到访过的三个州属调查了 120 名游客。60 人去过槟城，55 人去过马六甲，45 人去过浮罗交怡。

25 人去过槟城和马六甲，20 人去过马六甲和浮罗交怡，15 人去过槟城和浮罗交怡，10 人三个州都去过。求 (a) 至少到访一个州的人数，(b) 三个州都没去过的人数。

  1. 使用三集合公式：n(P ∪ M ∪ L) = n(P) + n(M) + n(L) − n(P∩M) − n(M∩L) − n(P∩L) + n(P∩M∩L)。
  2. 代入：60 + 55 + 45 − 25 − 20 − 15 + 10。
  3. 先加单独的：60 + 55 + 45 = 160。
  4. 减去两两相交：160 − 25 − 20 − 15 = 100；再加三者相交：100 + 10 = 110。
  5. 都没去 = 120 − 110 = 10。

例题 5

在一个有 100 名居民的住宅区，62 人订购 Astro，45 人订购 Unifi，12 人两种服务都不订购。求 (a) 两种服务都订购的人数，(b) 只订购 Astro 的人数。

  1. 至少订购一种服务的居民 = 100 − 12 = 88。
  2. 使用 n(A ∪ U) = n(A) + n(U) − n(A ∩ U)：88 = 62 + 45 − n(A ∩ U)。
  3. 所以 n(A ∩ U) = 62 + 45 − 88 = 19。
  4. 只订购 Astro = n(A) − n(A ∩ U) = 62 − 19 = 43。

例题 6

某学校社团有 60 名成员。有些人加入辩论队，有些人加入戏剧队。

只加入辩论队的人数是只加入戏剧队人数的三倍。12 名成员两队都加入，4 名成员两队都不加入。

求辩论队的成员总数。

  1. 设只加入戏剧队的人数为 y，则只加入辩论队 = 3y。
  2. 把四组相加：（只辩论）+（只戏剧）+（两队）+（都不）= 60。
  3. 3y + y + 12 + 4 = 60，即 4y + 16 = 60。
  4. 4y = 44，得 y = 11。
  5. 辩论队总数 = 只辩论 + 两队 = 3y + 12 = 3(11) + 12 = 45。

例题 7

在一场运动会上，90名学生至少报名了跳高或跳远两项活动中的一项。只报名跳高的人数是只报名跳远人数的两倍。

15名学生两项活动都报名了。求报名跳高的学生总人数。

  1. 设只报名跳远的人数为 x，则只报名跳高的人数为 2x
  2. x + 2x + 15 = 90
  3. 3x = 75
  4. x = 25，所以只报名跳高的人数 = 2(25) = 50
  5. 报名跳高总人数 = 只报名跳高 + 两项都报名 = 50 + 15 = 65

例题 8

对150名顾客的调查发现，80人拥有智能手机，60人拥有平板电脑，50人拥有智能手表。25人同时拥有智能手机和平板电脑，20人同时拥有平板电脑和智能手表，18人同时拥有智能手机和智能手表，10人三种设备都拥有。

求 (a) 恰好拥有两种设备的人数，(b) 三种设备都没有的人数。

  1. 恰好两种 = (n(A∩B) − n(A∩B∩C)) + (n(B∩C) − n(A∩B∩C)) + (n(A∩C) − n(A∩B∩C))
  2. 恰好两种 = (25 − 10) + (20 − 10) + (18 − 10) = 15 + 10 + 8 = 33
  3. n(A∪B∪C) = 80 + 60 + 50 − 25 − 20 − 18 + 10 = 137
  4. 三种都没有 = 150 − 137 = 13

资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)

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常见问题

为什么集合运算的KBAT题目比普通题目更难？

KBAT集合题目通常把集合运算包装在生活情境中（例如三个学会的会员人数），要求你先把文字叙述转换成三个集合的文氏图，再进行计算。真正的难点往往不在于并集、交集或补集本身，而在于准确判断“只参加三项活动中的两项”这类描述对应文氏图中的哪一个区域。

建议先画出所有区域，标上未知数，再根据条件逐一列方程求解。

学生在考试中处理集合补集时最常犯的错误是什么？

当题目涉及两个或三个集合时，学生常把“不属于A”和“既不属于A也不属于B”混淆。补集的范围永远取决于题目给定的全集ξ,所以画图前要先确认ξ包含哪些元素。

另外要记住A′∩B′等于(A∪B)′,颠倒补集与并集的运算顺序是KBAT题目中常见的陷阱，建议每次都先画文氏图再写答案，减少纯靠公式记忆出错的机会。

在集合运算题目中，考官在满分答案里寻找什么？

评分标准包括：文氏图是否正确画出并标注各区域、是否使用正确的集合符号(∪并集、∩交集、′补集、⊂子集)，以及最终答案是否与图中数字一致。即使最后算出的数字错了，只要文氏图标注清楚、符号使用正确，通常仍能拿到部分步骤分，所以做题时应该先画图标注，再进行计算，而不是急着套公式。

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