集合的运算 · 4.2.3
涉及集合并集的问题
学生须运用并集概念解决实际或数字问题，常须使用关系式 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)。这包括计算至少属于其中一个群体的项目数目、解读文氏图，以及根据已知资料求出未知的数量，是集合单元中常见的应用题型。
官方学习标准 (4.2.3)
“解决涉及集合并集的问题。”
它的含义
学生须运用并集概念解决实际或数字问题，常须使用关系式 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)。这包括计算至少属于其中一个群体的项目数目、解读文氏图，以及根据已知资料求出未知的数量，是集合单元中常见的应用题型。
如何考查
该标准主要出现在试卷二的多部分结构题中，情境常涉及问卷调查、学会或活动，要求学生运用并集公式或文氏图求出未知的总数。它也可能以简短的数字题形式出现在试卷一中，直接测试学生对并集公式的掌握与应用能力。
例题
某班共有 40 名学生，其中 25 人踢足球，18 人打曲棍球。若有 10 人两项运动都参与，求至少参与其中一项运动的学生人数。
- 设 A 为踢足球的学生，n(A) = 25；设 B 为打曲棍球的学生，n(B) = 18。
- 已知 n(A ∩ B) = 10，即两项运动都参与的学生人数。
- 代入公式 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 25 + 18 − 10。
- n(A ∪ B) = 33。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
为什么并集公式中要减去 n(A ∩ B)?
如果只是把 n(A) 和 n(B) 相加，那些同时属于两个群体的学生就会被重复计算两次，在每个集合中各算一次。减去 n(A ∩ B) 就是为了消除这种重复计算，使每一名参与其中一项或两项运动的学生在总数中恰好只被计算一次。
怎样求出两项运动都不参与的学生人数？
先用公式求出 n(A ∪ B)，再用学生总数 n(ξ) 减去这个结果即可。以本题为例，n(ξ) − n(A ∪ B) = 40 − 33 = 7，也就是说，有 7 名学生既不踢足球也不打曲棍球，这属于并集补集的应用。
如果题目没有直接给出 n(A ∩ B) 怎么办？
有些题目会用文字描述重叠部分，例如“两者都”或“同时”,也可能通过文氏图中的某个区域间接给出。做题时要仔细阅读，先确定哪个数值代表同时属于两个群体的人数，再代入并集公式计算，忽略这一步是学生常犯的错误之一，务必留意题目的措辞。