集合的运算 · 4.3.3
集合组合运算的应用题
学生须运用集合的组合运算来解决涉及两个或以上重叠群体的实际或数字问题。这通常意味着须根据题目给出的元素数目，求出未知的数量，例如交集、并集或补集中的人数或数目，过程中常常需要借助带有标注的文氏图来辅助分析和作答。
官方学习标准 (4.3.3)
“解决涉及集合组合运算的问题。”
它的含义
学生须运用集合的组合运算来解决涉及两个或以上重叠群体的实际或数字问题。这通常意味着须根据题目给出的元素数目，求出未知的数量，例如交集、并集或补集中的人数或数目，过程中常常需要借助带有标注的文氏图来辅助分析和作答。
如何考查
这是试卷二中常见的结构题类型，通常以真实情境呈现，例如关于兴趣爱好或科目选修的问卷调查，要求学生运用组合运算分阶段求出多个未知数量。它也可能以较简短的形式出现在试卷一中，针对某一个特定的未知数值进行测试，考查学生对组合运算的实际应用能力。
例题
一项针对 50 名学生的调查发现，27 人喜欢榴梿，24 人喜欢红毛丹，11 人两种水果都喜欢。求 (a) 至少喜欢其中一种水果的学生人数，(b) 两种水果都不喜欢的学生人数，(c) 只喜欢榴梿的学生人数。
- 设 A 为喜欢榴梿的学生，n(A) = 27；设 B 为喜欢红毛丹的学生，n(B) = 24;n(A ∩ B) = 11。
- (a) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 27 + 24 − 11 = 40。
- (b) 两种水果都不喜欢的学生人数 = n(ξ) − n(A ∪ B) = 50 − 40 = 10。
- (c) 只喜欢榴梿的学生人数 = n(A) − n(A ∩ B) = 27 − 11 = 16。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
为什么“只喜欢榴梿”是 A 减去交集，而不是直接等于 n(A)?
n(A) 包含所有喜欢榴梿的学生，其中也包括同时喜欢红毛丹的学生。“只喜欢榴梿”指的是只属于圆 A、但不在与 B 重叠部分的学生，所以必须用 n(A) 减去 n(A ∩ B)，才能把同时喜欢两种水果的学生排除在外，得到只喜欢榴梿的人数。
如果题目直接给出“只喜欢 A”和“只喜欢 B”的人数，而不是直接给交集怎么办？
可以反向推算：如果已知只喜欢榴梿和只喜欢红毛丹的人数，把这两个数加上重叠部分的人数，就能得到 n(A ∪ B)；也可以先用题目给出的“只喜欢”数值，分别从 n(A) 和 n(B) 中减去，从而反过来求出交集 n(A ∩ B) 的数值。
怎样判断文氏图中哪个区域代表“都不喜欢”?
“都不喜欢”的区域是指位于矩形(代表全集 ξ)内部，但同时在圆 A 和圆 B 之外的部分，这个区域所表示的就是 (A ∪ B)′。做题时应先求出 n(A ∪ B)，再用全集总数 n(ξ) 减去它，就能得到位于两个圆圈之外那个区域的学生人数。