集合的运算 · 4.1.3
解决集合交集问题
学生要运用对集合交集的理解来解决现实生活或数字方面的问题，例如找出各组之间的共同元素、利用给定信息确定未知集合，或处理重叠集合中的元素个数问题。
官方学习标准 (4.1.3)
“解决涉及集合交集的问题。”
它的含义
学生要运用对集合交集的理解来解决现实生活或数字方面的问题，例如找出各组之间的共同元素、利用给定信息确定未知集合，或处理重叠集合中的元素个数问题。
如何考查
该标准主要在第二卷中以结构题或应用题的形式考查，情境通常来自现实生活（例如关于学生喜好的调查），常需要先用文氏图求出交集的元素个数n(A ∩ B)，再回答相关问题。
例题
某班共有40名学生，其中25人喜欢数学，20人喜欢科学。如果有10名学生两科都喜欢，求既不喜欢数学也不喜欢科学的学生人数。
- 设M为喜欢数学的学生集合，S为喜欢科学的学生集合。n(M) = 25,n(S) = 20,n(M ∩ S) = 10。
- 至少喜欢一门科目的人数：n(M ∪ S) = n(M) + n(S) − n(M ∩ S) = 25 + 20 − 10 = 35。
- 学生总数为40，所以两科都不喜欢的人数 = 40 − 35 = 5。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
为什么求A或B中的总人数时要减去n(A ∩ B)?
因为交集中的元素同时属于两个集合，如果只是简单地把n(A)和n(B)相加，这些元素就被重复计算了两次。减去n(A ∩ B)可以消除这种重复计算，所以n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)才能得出正确的不重复元素总数。
如果只给出总数而没有列出元素，应该如何画文氏图？
在代表全集的矩形内画两个重叠的圆。先在重叠区域填入n(A ∩ B)，然后从每个给定的总数中减去这个值，得到“只属于A”和“只属于B”的区域，最后利用总人数求出既不在A也不在B中的人数。
如果问题给出的是三个重叠的集合而不是两个，该怎么办？
同样的逻辑可以推广，但必须从中心向外逐步求解，先求出最中心的三集合公共交集，再求每两个集合的重叠部分并减去中心值，最后求出每个集合各自剩下的“仅属于该集合”的区域，并检查所有区域之和等于给定的总数。