Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Penjelmaan · Tingkatan 5
Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Penjelmaan: Contoh Berjawab (KBAT)
Masalah situasi sebenar, berbilang langkah yang menyembunyikan transformasi dalam cerita, kos dakwat daripada pembesaran, token permainan di bawah transformasi gabungan, dan memerihalkan dua pantulan sebagai satu transformasi setara tunggal.
Contoh berjawab 1
Logo seorang pereka ialah sebuah segi tiga berluas 6 cm². Untuk sepanduk, dia membesarkan logo supaya setiap sisi menjadi 5 kali lebih panjang, mengekalkan bentuk yang sama.
Logo diisi dakwat yang berharga RM0.80 setiap cm². Cari berapa lebih kos dakwat logo yang dibesarkan berbanding logo asal.
- Setiap sisi 5 kali lebih panjang, maka faktor skala k = 5.
- Luas logo dibesarkan = k² × luas objek = 5² × 6 = 25 × 6 = 150 cm².
- Luas tambahan untuk didakwat = 150 − 6 = 144 cm².
- Kos dakwat tambahan = 144 × RM0.80 = RM115.20.
Contoh berjawab 2
Dalam satu permainan teka-teki, token bermula pada grid di A(2, 3). Menamatkan Aras 1 mengalihkan token dengan vektor (3, −1) (3 unit ke kanan, 1 unit ke bawah).
Menamatkan Aras 2 kemudian memantulkan token pada paksi-x. Hadiah terletak di (5, −2).
Tentukan, dengan kerja, sama ada token mendarat tepat pada hadiah selepas kedua-dua aras.
- Translasi Aras 1: tambah (3, −1) kepada A(2, 3) → (2 + 3, 3 − 1) = (5, 2).
- Pantulan Aras 2 pada paksi-x: (x, y) → (x, −y), maka (5, 2) → (5, −2).
- Bandingkan kedudukan akhir (5, −2) dengan hadiah (5, −2): ia titik yang sama.
Contoh berjawab 3
Pada pelan koordinat sebuah taman, sebuah bentuk hiasan dipantulkan pada garis menegak x = 1, dan imejnya kemudian dipantulkan pada garis menegak x = 4. Untuk memberi pembina satu arahan yang jelas, perihalkan sepenuhnya transformasi tunggal yang memetakan bentuk asal kepada imej akhir.
- Dua pantulan pada garis selari memberi satu translasi, dan tiada pantulan mengubah saiz, maka bentuk kekal kongruen.
- Translasi itu mengufuk (berserenjang dengan dua garis cermin menegak).
- Jaraknya ialah dua kali jurang antara garis: 2 × (4 − 1) = 2 × 3 = 6 unit.
- Arahnya dari cermin pertama (x = 1) ke arah cermin kedua (x = 4), iaitu arah x positif. Semak: titik pada x dipetakan ke 2(1) − x = 2 − x, kemudian ke 2(4) − (2 − x) = 6 + x, mengesahkan x → x + 6.
Contoh berjawab 4
Dalam satu reka bentuk, satu motif mula-mula dipantulkan pada paksi-x, kemudian dipantulkan pada garis y = x. Dengan menjejaki titik am (x, y), tunjukkan bahawa dua pantulan ini bersama-sama setara dengan satu transformasi tunggal, dan huraikannya sepenuhnya.
- Pantulan pada paksi-x: (x, y) → (x, −y)
- Pantulan pada y = x menukar koordinat: (x, −y) → (−y, x)
- Kesan bersih: (x, y) → (−y, x)
- Ini betul-betul putaran 90° lawan arah jam pada O, yang menghantar (x, y) → (−y, x)
- Semak (2, 0): paksi-x → (2, 0); y = x → (0, 2); dan putaran juga memberi (0, 2) ✓
Contoh berjawab 5
Sebuah foto berukuran 15 cm × 10 cm dibesarkan sehingga luasnya menjadi 600 cm². Cari faktor skala pembesaran, ukuran baharu, dan peratus pertambahan perimeter.
- Luas asal = 15 × 10 = 150 cm²
- Faktor skala luas = 600 ÷ 150 = 4, jadi k² = 4 dan k = 2
- Ukuran baharu = 15 × 2 dan 10 × 2 = 30 cm dan 20 cm
- Perimeter asal = 2(15 + 10) = 50 cm; perimeter baharu = 2(30 + 20) = 100 cm
- Peratus pertambahan = (100 − 50) ÷ 50 × 100% = 100%
Contoh berjawab 6
Sebuah lantai dijubin dengan jubin segi tiga kongruen, setiap satu berluas 50 cm². Satu versi hiasan jubin itu dibuat dengan setiap sisi 1.5 kali lebih panjang.
Cari berapa kali lebih besar luas jubin hiasan itu, luas sebenarnya, dan jumlah luas yang diliputi oleh 200 jubin hiasan sedemikian, dalam m².
- Faktor skala luas = (1.5)² = 2.25, jadi jubin hiasan 2.25 kali luas
- Luas jubin hiasan = 50 × 2.25 = 112.5 cm²
- 200 jubin = 200 × 112.5 = 22500 cm²
- Tukar ke m²: 22500 ÷ 10000 = 2.25 m²
Contoh berjawab 7
Seorang pelukis mural melukis reka bentuk berbentuk segi tiga berkeluasan 4 m² pada sebuah dinding kecil. Untuk dinding yang lebih besar, beliau membesarkan reka bentuk itu, dengan bentuk yang sama, supaya setiap sisi menjadi 2.5 kali lebih panjang.
Cat mural khas berharga RM45 setin, dan satu tin boleh melitupi tepat 4.5 m². (a) Cari luas mural yang telah dibesarkan.
(b) Cari bilangan tin cat yang perlu dibeli, memandangkan tin yang digunakan sebahagian tetap dikira sebagai satu tin penuh, serta jumlah kos cat.
- Faktor skala luas = k² = 2.5² = 6.25
- Luas mural yang dibesarkan = 4 × 6.25 = 25 m²
- Bilangan tin diperlukan = 25 ÷ 4.5 = 5.56 (2 t.p.)
- Memandangkan tin yang digunakan sebahagian tetap dikira sebagai satu tin penuh, bundarkan ke atas: 6 tin diperlukan
- Jumlah kos = 6 × RM45 = RM270
Contoh berjawab 8
Reka bentuk kipas siling mempunyai satu bilah yang diputarkan 90° ikut jam pada pusat kipas untuk menghasilkan bilah kedua, dan bilah kedua itu kemudian diputarkan lagi 90° ikut jam pada pusat yang sama untuk menghasilkan bilah ketiga. Dengan menjejaki pergerakan satu titik am P(x, y) pada bilah pertama pada setiap langkah, tunjukkan bahawa kedudukan bilah ketiga boleh diperoleh daripada bilah pertama melalui satu transformasi tunggal, dan huraikan transformasi tersebut dengan lengkap.
- Putaran 90° ikut jam pertama pada pusat: (x, y) → (y, −x)
- Kenakan peraturan yang sama sekali lagi pada (y, −x): (y, −x) → (−x, −y)
- Jadi secara keseluruhan, (x, y) → (−x, −y) selepas kedua-dua putaran
- (x, y) → (−x, −y) ialah peraturan bagi satu putaran tunggal 180° pada pusat
Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
Soalan lazim
Mengapa soalan KBAT tentang transformasi terasa sangat berbeza daripada latihan biasa?
Soalan KBAT di sini jarang terus meminta 'cari imej'. Sebaliknya ia meletakkan transformasi dalam satu situasi, peta, reka bentuk, atau satu siri pergerakan, dan anda perlu mengenal pasti transformasi yang berlaku, atau menaakul kesannya terhadap luas dan bentuk.
Anda perlu memahami situasi dahulu sebelum mengaplikasikan sebarang peraturan.
Apakah yang diberi markah oleh pemeriksa dalam jawapan transformasi gubahan?
Markah penuh memerlukan setiap transformasi dinyatakan dengan jenis, pusat atau garis, serta faktor skala atau sudut, diaplikasikan mengikut turutan yang diberi, dengan imej perantaraan ditunjukkan dengan jelas sebelum transformasi seterusnya bertindak ke atasnya. Rajah akhir yang betul tanpa kerja berlabel hanya memperoleh sedikit markah.
Kesilapan apa yang paling banyak menghilangkan markah dalam topik ini?
Dua yang biasa: mengaplikasikan transformasi mengikut turutan yang salah (transformasi gubahan tidak boleh ditukar tertib, jadi menukar turutan mengubah imej), dan mengelirukan faktor skala panjang k dengan faktor skala luas k². Terkeliru antara objek dan imej selepas setiap langkah juga menyebabkan kesilapan.