全等、放大与复合变换 · 中五

全等、放大与复合变换：例题（KBAT）

真实情境、多步骤的题目，把变换藏在故事里，放大后的墨水成本、组合变换下的游戏棋子，以及把两次反射描述为一个等效的单一变换。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

例题 1

一位设计师的标志是一个面积为 6 cm² 的三角形。为了做横幅，她把标志放大，使每条边都变成原来的 5 倍，形状保持不变。

标志用墨水填充，每 cm² 墨水费 RM0.80。求放大后的标志比原标志多花多少墨水钱。

在一个益智游戏中，棋子从网格上的 A(2, 3) 出发。通过第 1 关会把棋子按向量 (3, −1)（向右 3 个单位、向下 1 个单位）平移。

通过第 2 关再把棋子关于 x 轴反射。奖品位于 (5, −2)。

请写出过程，判断两关之后棋子是否恰好落在奖品上。

在花园的坐标平面图上，一个装饰图形先关于竖直线 x = 1 反射，其像再关于竖直线 x = 4 反射。为了给施工者一个清晰的指令，请完整描述把原图形映射到最终像的那一个单一变换。

关于两条平行线的两次反射合起来是一个平移，两次反射都不改变大小，所以图形保持全等。
这个平移是水平的（与两条竖直镜线垂直）。
它的距离是两线间距的两倍：2 × (4 − 1) = 2 × 3 = 6 个单位。
方向是从第一条镜线 (x = 1) 指向第二条 (x = 4)，即 x 的正方向。检验：位于 x 的点先映射到 2(1) − x = 2 − x，再到 2(4) − (2 − x) = 6 + x，确认 x → x + 6。

在一个设计中，图案先对x轴作反射，再对直线y = x作反射。通过追踪一般点(x, y)，证明这两次反射合起来等价于一个单一变换，并完整描述它。

一张15 cm × 10 cm的照片被放大，使其面积变为600 cm²。求放大的比例因子、新尺寸，以及周长增加的百分比。

一块地板铺满全等的三角形瓷砖，每块面积50 cm²。制作一款装饰版瓷砖，每条边都是原来的1.5倍长。

求装饰瓷砖的面积是原来的几倍、其实际面积，以及200块这样的装饰瓷砖覆盖的总面积（以m²表示）。

一位壁画画家在一面小墙上画了一幅面积为4 m²的三角形图案。为了在更大的墙面上作画，她将图案按相同形状放大，使每条边变为原来的2.5倍。

专用壁画颜料每罐RM45，一罐恰好可以涂刷4.5 m²。(a) 求放大后壁画的面积。

(b) 求她需要购买的颜料罐数（即使一罐只用了一部分，仍须算作一整罐），以及颜料的总费用。

一个吊扇的扇叶设计中，第一片扇叶绕扇的中心顺时针旋转90°得到第二片扇叶，然后第二片扇叶再绕同一中心顺时针旋转90°得到第三片扇叶。通过跟踪第一片扇叶上一般点P(x, y)在每一步中的移动，证明第三片扇叶的位置可以由第一片扇叶经过单一变换得到，并完整描述该变换。

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为什么组合变换的 KBAT 题目和平常的练习感觉差很多？

这里的 KBAT 题目很少直接叫你「求出图像」，而是把变换放进一个情境里，地图、设计图或一连串动作，要求你先判断到底发生了哪种（些）变换，或推理它对面积和形状的影响。你得先理解题目情境，才能套用规则。

考官在组合变换的答案中看重什么？

要拿满分，必须写明每一次变换的类型、中心点或对称轴、以及比例因子或角度，并按题目给定的顺序进行，在下一次变换作用之前清楚画出中间图像。只画出正确的最终图形而没有标注过程，得分会很有限。

这个主题最容易丢分的错误是什么？

常见的有两种：把变换的顺序做反了（组合变换不满足交换律，顺序颠倒图像就会不同），以及把长度比例因子 k 和面积比例因子 k² 搞混。每一步之后分不清哪个是原图、哪个是像，也容易出错。