全等、放大与复合变换 · 中五
全等、放大与复合变换：例题（中等）
两到三步的题目：由面积比求出比例因子、从给定中心放大、以及按正确顺序完成组合变换。适合已掌握单一变换的学生。
例题 1
一次放大把面积为 5 cm² 的三角形映射成面积为 45 cm² 的像。(a) 求比例因子 k（k > 0）。
(b) 物体的一条边为 4 cm；求像上对应边的长度。
- 面积比 = 像的面积 ÷ 物体的面积 = 45 ÷ 5 = 9。
- 面积比等于 k²，所以 k² = 9。
- 取正平方根：k = √9 = 3。
- 对应边 = k × 物体的边 = 3 × 4 = 12 cm。
例题 2
点 P(5, 2) 经过以 C(1, 0) 为中心、比例因子为 2 的放大。求像 P′ 的坐标。
- 像 = 中心 + k × (点 − 中心)；从中心 C 量距离，而不是从原点。
- 从 C 到 P 的向量：(5 − 1, 2 − 0) = (4, 2)。
- 乘以 k = 2：(2 × 4, 2 × 2) = (8, 4)。
- 再加回中心：(1 + 8, 0 + 4) = (9, 4)。
例题 3
点 A(4, 2) 先绕原点顺时针旋转 90° 得到 A′，再把 A′ 关于 y 轴反射得到 A″。求 A″ 的坐标。
- 绕原点顺时针旋转 90° 把 (x, y) → (y, −x)。
- 所以 A′ = (2, −4)。
- 关于 y 轴反射把 (x, y) → (−x, y)。
- 所以 A″ = (−2, −4)。
例题 4
P(1, 4)以中心C(−1, 2)、比例因子3放大。求像的坐标。
- 像 = C + k(P − C)
- P − C = (1 − (−1), 4 − 2) = (2, 2)
- k(P − C) = 3 × (2, 2) = (6, 6)
- 像 = (−1 + 6, 2 + 6) = (5, 8)
例题 5
点A(3, 1)先按向量(−1, 2)平移，再绕原点O逆时针旋转90°。求最终像A″的坐标。
- 按(−1, 2)平移：A(3, 1) → (3 − 1, 1 + 2) = (2, 3)
- 绕O逆时针旋转90°：(x, y) → (−y, x)
- (2, 3) → (−3, 2)
例题 6
P(3, −1)以中心O、比例因子−2放大。求像的坐标。
- 以中心O、因子k = −2放大：(x, y) → (kx, ky)
- P(3, −1) → (−2 × 3, −2 × (−1)) = (−6, 2)
例题 7
点E(2, −5)先关于x轴反射得到E′,再将E′按向量(3, 4)平移。求最终像E″的坐标。
- 关于x轴反射：E(2, −5) → E′(2, 5),y坐标变号
- 按向量(3, 4)平移：E′(2, 5) → E″(2 + 3, 5 + 4) = E″(5, 9)
例题 8
一个放大变换把面积为12 cm²的四边形变为面积为108 cm²的像。(a) 求放大变换的比例尺k(k > 0)。
(b) 像上对应边长为15 cm，求原图形对应边的长度。
- 面积之比 = 像的面积 ÷ 原图形面积 = 108 ÷ 12 = 9
- k² = 9，所以 k = 3
- 原图形边长 = 像的边长 ÷ k = 15 ÷ 3 = 5 cm
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
常见问题
中等难度的题目在这个变换主题上增加了什么考点？
中等题要求你依次完成两个变换（例如先平移后放大）并求出最终的像，或者描述一个能产生与两次组合变换相同效果的单一变换。当涉及放大变换时，还需要理解线性比例因子与面积比例因子之间的关系(面积比例因子 = k²)。
组合变换中，顺序上常出现什么错误？
如果把两个变换的顺序做反了，先做第二个变换，通常会得到不同（错误）的最终像，因为变换的先后顺序一般是不能互换的。务必严格按照题目给定的顺序进行：先求出第一个变换后的像，再对这个像进行第二个变换。
使用面积比例因子时容易出现什么错误？
学生有时会直接用线性比例因子来求新的面积，而没有先把它平方；或者把已经给出的面积（而不是长度）再拿去平方，导致答案严重错误。要记住面积比例因子等于线性比例因子的平方，使用前先弄清楚题目给出的是长度还是面积。