Tingkatan 5 · Measurement and Geometry
Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Penjelmaan
Penjelmaan menggerakkan dan mengubah saiz bentuk, meluncur, memutar, memantul dan membesarkannya pada satah.
Apakah Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Penjelmaan?
Bab ini tentang apa yang berlaku kepada bentuk apabila anda menggerakkan atau mengubah saiznya. Anda mengkaji kekongruenan (bentuk dan saiz sama), pembesaran (bentuk sama, saiz berbeza, dengan faktor skala), teselasi, dan gabungan penjelmaan yang menerapkan dua gerakan satu demi satu.
Standard kandungan (DSKP)
DSKP KSSM menetapkan standard kandungan ini untuk bab ini:
- 5.1 Kekongruenan
- 5.2 Pembesaran
- 5.3 Gabungan Penjelmaan
- 5.4 Teselasi
Idea utama
Kongruen vs serupa
Bentuk kongruen sepadan tepat; bentuk serupa mempunyai bentuk sama tetapi saiz berbeza (pembesaran).
Faktor skala
Faktor skala k memberitahu berapa kali lebih besar imej, dan rumus yang diberi mengaitkan luas dengan k².
Gabungan penjelmaan
Dua penjelmaan diterapkan mengikut urutan sering boleh diterangkan sebagai satu penjelmaan setara, helah Kertas 2 yang lazim.
Bagaimana bab ini diuji
Kertas 2 memberi bentuk pada grid dan meminta anda menerangkan penjelmaan sepenuhnya, mencari imej, atau mengira luas menggunakan faktor skala. Markah penerangan penuh ketat, putaran memerlukan pusat, sudut dan arah, jadi ketepatan ialah segala-galanya di sini.
Rumus yang diberi dalam peperiksaan untuk bab ini
Kesilapan lazim untuk dielakkan
- Menerangkan putaran tanpa menyatakan pusat, sudut dan arah
- Menggunakan faktor skala untuk luas tanpa mengkuasa duakannya
- Menerapkan gabungan penjelmaan dalam susunan salah
Menerangkan setiap penjelmaan dengan lengkap
Punca terbesar markah hilang dalam bab ini ialah penerangan yang tidak lengkap, jadi pelajari dengan tepat apa yang setiap jenis mesti nyatakan. Translasi diberi oleh satu vektor, berapa jauh ke kanan atau kiri dan berapa jauh ke atas atau bawah, contohnya 3 unit ke kanan dan 2 unit ke bawah.
Pantulan memerlukan persamaan garis cermin, seperti x = 2, y = −1, y = x atau y = −x. Putaran memerlukan tiga butiran berasingan: pusat sebagai koordinat, sudut (biasanya 90°, 180° atau 270°) dan arah (ikut atau lawan jam), hanya putaran 180° membolehkan anda meninggalkan arah.
Pembesaran memerlukan pusat dan faktor skala. Menulis 'putaran pada asalan' dan berhenti tidak menerangkan apa-apa yang pemeriksa boleh beri markah, kerana setiap butiran yang diperlukan membawa markahnya sendiri.
Faktor skala negatif dan pecahan
Faktor skala tidak semestinya nombor bulat yang lebih besar daripada 1. Apabila ia terletak antara 0 dan 1, imej lebih kecil daripada objek, satu pengecilan, walaupun sukatan masih memanggil penjelmaan itu pembesaran.
Apabila faktor skala negatif, imej mendarat di sebelah bertentangan pusat dan terbalik, iaitu sama seperti pembesaran dengan saiz positif diikuti pusingan setengah tentang pusat. Contohnya, pembesaran berpusat O(0, 0) dengan faktor skala −2 menghantar titik (3, 1) ke (−6, −2): setiap jarak dari pusat masih didarab dengan 2, tetapi arahnya bertukar.
Luas berkelakuan sama tidak kira tandanya, kerana ia didarab dengan faktor skala kuasa dua, dan kuasa dua tidak pernah negatif, faktor skala −3 dan faktor skala +3 kedua-duanya mendarabkan luas dengan 9.
Mencari pusat, dan penjelmaan setara tunggal
Dua tugas markah tinggi memberi ganjaran kepada sedikit pembinaan. Untuk mencari pusat pembesaran, lukis garis lurus melalui setiap titik objek dan titik imej sepadannya; semua garis ini bertemu di satu titik, dan titik pertemuan itu ialah pusatnya.
Faktor skala kemudian ialah jarak imej dibahagi jarak objek diukur dari pusat itu. Tugas kedua ialah helah klasik Kertas 2: sesuatu bentuk dijelmakan dua kali, dan anda diminta penjelmaan tunggal yang memberi kesan sama.
Jejaki dua atau tiga titik utama dari asal hingga ke imej akhir, kemudian tanya gerakan tunggal mana, translasi, pantulan, putaran atau pembesaran, yang membawa asal ke situ, dan terangkannya dengan senarai semak penuh. Ia selalunya putaran atau translasi walaupun dua langkah berbeza digunakan untuk membinanya.
Contoh gaya peperiksaan berjawab
Berikut ialah soalan gaya Kertas 2 yang menggabungkan pembesaran dengan translasi dan meminta luas, jenis yang faktor skalanya mesti dikuasa duakan.
- Cari luas segi tiga P dahulu. AB mengufuk dengan panjang 4 − 1 = 3 unit, dan tinggi dari C ialah 3 − 1 = 2 unit, jadi luas P = ½ × 3 × 2 = 3 unit².
- Terapkan pembesaran, pusat O(0, 0), faktor skala 2: darab setiap koordinat dengan 2. A(1,1) → (2,2), B(4,1) → (8,2), C(1,3) → (2,6). Jadi Q mempunyai bucu (2, 2), (8, 2) dan (2, 6).
- Terapkan translasi 3 ke kiri dan 2 ke atas: tolak 3 daripada setiap x dan tambah 2 pada setiap y. (2,2) → (−1,4), (8,2) → (5,4), (2,6) → (−1,8). Jadi R mempunyai bucu (−1, 4), (5, 4) dan (−1, 8).
- Untuk luas, hanya pembesaran mengubah saiz; translasi tidak. Luas didarab dengan kuasa dua faktor skala: k² = 2² = 4. Luas R = 4 × luas P = 4 × 3 = 12 unit².
Cara mengulang bab ini
Ulang kaji Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Penjelmaan
Kaedah
Istilah utama
Soalan lazim
Bagaimana bab ini diuji
Matematik SPM menguji bab ini merentasi Matematik Kertas 1 (Objektif) dan Matematik Kertas 2 (Subjektif), berdasarkan standard kandungan DSKP di atas. Kertas 2 memberi markah untuk kerja, jadi menunjukkan setiap langkah penting.
Kesilapan lazim untuk dielakkan
Menerangkan putaran tanpa menyatakan pusat, sudut dan arah; Menggunakan faktor skala untuk luas tanpa mengkuasa duakannya; Menerapkan gabungan penjelmaan dalam susunan salah.
Rumus yang diberi dalam peperiksaan untuk bab ini
Ya, Faktor skala, Luas imej muncul pada helaian rumus yang diberi peperiksaan. Selebihnya dalam bab ini anda dijangka tahu.
Jika sesuatu bentuk dibesarkan dengan faktor skala 3, berapa kali lebih besar luasnya?
Sembilan kali. Panjang bertambah mengikut faktor skala, tetapi luas bertambah mengikut faktor skala kuasa dua.
Jadi faktor skala 3 mendarabkan setiap panjang dengan 3 dan luas dengan 3² = 9. Kuasa dua ini salah satu tempat paling lazim markah hilang, maka sentiasa kuasa duakan k untuk luas.
Adakah susunan dua gabungan penjelmaan penting?
Biasanya ya. Membuat pantulan dahulu kemudian putaran selalunya meletakkan bentuk di tempat berbeza daripada putaran dahulu kemudian pantulan.
Sentiasa terapkannya tepat mengikut urutan yang soalan nyatakan, penjelmaan pertama bertindak pada asal, dan yang kedua bertindak pada imej yang dihasilkan oleh yang pertama.
Bagaimana saya menerangkan pembesaran untuk mendapat setiap markah?
Nyatakan tiga perkara: bahawa ia pembesaran, pusat pembesaran sebagai koordinat, dan faktor skala. Contohnya, 'pembesaran berpusat (0, 0) dengan faktor skala 2.'
Tertinggal pusat atau faktor skala kehilangan satu markah setiap satu, walaupun anda jelas nampak bentuk itu membesar.
Sumber:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)· SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
Dapatkan bantuan dengan Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Penjelmaan
Satu-ke-satu, dalam Bahasa Inggeris, dengan kerja anda disemak baris demi baris.
Dapatkan bantuan dengan Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Penjelmaan