公式表
2×2 矩阵的逆矩阵
逆矩阵公式印在考试公式表上。你必须懂得从矩阵正确位置读出 a、b、c、d，算出行列式 ad − bc，把 a 与 d 对调、并把 b 与 c 取负，并且，很重要，知道当 ad − bc = 0 时逆矩阵不存在。
A-1 = 1/(ad−bc) × [[d, −b], [−c, a]]
考试提供符号的含义
- a, b, c, d 矩阵 A = [[a, b], [c, d]] 的四个元素，逐行读取
- ad − bc A 的行列式；只有当它不为零时逆矩阵才存在
- A⁻¹ 逆矩阵，它与 A 相乘得到单位矩阵
考试提供，还是要记？
逆矩阵公式印在考试公式表上。你必须懂得从矩阵正确位置读出 a、b、c、d，算出行列式 ad − bc，把 a 与 d 对调、并把 b 与 c 取负，并且，很重要，知道当 ad − bc = 0 时逆矩阵不存在。
为什么成立
逆矩阵就是与 A 相乘能得到单位矩阵 I 的那个矩阵；这个公式是 2×2 情形的捷径。
- 对于 A = [[a, b], [c, d]]，数值 ad − bc 称为行列式。
- 把主对角线（a 和 d）对调，并把另一条对角线（b 和 c）取负，得到伴随矩阵 [[d, −b], [−c, a]]。
- 用伴随矩阵除以行列式就得到 A⁻¹，用 A 与它相乘会还原成单位矩阵。
例题 1
求 A = [[2, 1], [3, 2]] 的逆矩阵。
- 确定 a = 2，b = 1，c = 3，d = 2。
- 行列式 ad − bc = (2)(2) − (1)(3) = 4 − 3 = 1。
- A⁻¹ = 1/1 × [[2, −1], [−3, 2]]
- = [[2, −1], [−3, 2]]
例题 2
求 A = [[3, 4], [1, 2]] 的逆矩阵。
- 确定 a = 3，b = 4，c = 1，d = 2。
- 行列式 ad − bc = (3)(2) − (4)(1) = 6 − 4 = 2。
- A⁻¹ = 1/2 × [[2, −4], [−1, 3]]
- = [[1, −2], [−½, 3/2]]
学生常错之处
- 忘记对调 a 和 d，主对角线的元素要先交换位置。
- 把错误的元素取负，应取负的是 b 和 c（非对角线），而不是 a 和 d。
- 把行列式算成 ad + bc 或 bc − ad，而不是 ad − bc。
- 在 ad − bc = 0 时还想求逆，奇异矩阵没有逆矩阵（那会变成除以零）。
配合使用
资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)
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常见问题
如果行列式为零会怎样？
该矩阵没有逆矩阵。因为公式要除以 ad − bc，行列式为 0 就意味着除以零，这是不可能的。
这样的矩阵称为奇异矩阵。在考试中，算出 ad − bc = 0 就是提示你要写明逆矩阵不存在。
每个元素都要除以行列式吗？
要。1/(ad − bc) 乘的是整个矩阵，所以四个元素每一个都要除以行列式。
把分数写在矩阵外面很整洁，例如 ½[[2, −4], [−1, 3]]，但里面每个元素仍然被它缩放。
怎样检查我求的逆矩阵是否正确？
把你的答案与原矩阵相乘。如果 A⁻¹ 正确，A × A⁻¹ 会得到单位矩阵 [[1, 0], [0, 1]]。
这个快速检查能抓出符号错误和元素对调错误，对你算出的任何 2×2 逆矩阵都适用。