中五 · Relationship and Algebra
矩阵
矩阵是带有自己一套运算的数字方阵，一次处理大量数据的紧凑方式。
什么是矩阵？
矩阵是按行列排列的数字阵列。本章教基本运算，加、减、与数相乘、与另一矩阵相乘，以及 2×2 矩阵的逆，用来解联立方程。
内容标准（DSKP）
DSKP KSSM 为本章设定了以下内容标准：
- 2.1 矩阵
- 2.2 矩阵的基本运算
核心概念
阶数与何时可运算
只能对同阶矩阵相加，且只有当第一个的列数等于第二个的行数时才能相乘。
矩阵乘法
行乘列再相加，这是学生最常写错的一个运算。
2×2 矩阵的逆
所给公式用行列式 ad − bc；若为零则无逆。逆能利落地解联立方程。
本章如何考
试卷二通常先求矩阵乘积、再求逆，然后用该逆去解一对联立方程。失分多因算术小错与乘的顺序反了，所以整洁、标注的步骤很重要。
本章在考试中提供的公式
要避开的常见错误
- 矩阵相乘顺序反了（顺序有影响）
- 逆公式里的符号错误
- 试图对行列式为零的矩阵求逆
单位矩阵与逆矩阵的真正含义
对普通数字来说，5 的逆是 1/5，因为 5 × 1/5 = 1，而 1 是相乘时不改变任何东西的数。矩阵有同样的概念。
二阶单位矩阵是 I = [[1, 0], [0, 1]]；任何 2×2 矩阵乘以 I 都保持不变，所以 I 扮演着 1 对数字的角色。矩阵 A 的逆，记作 A⁻¹，是满足 A × A⁻¹ = I 的矩阵。
这就是逆矩阵如此有用的原因：乘以 A⁻¹ 会“撤销”乘以 A，正如除以 5 撤销乘以 5。记住这个图景，就能明白你求逆时的目标，以及为何只有方阵才可能有逆，要让 A × A⁻¹ 得到方形的单位矩阵，需要行数与列数相同。
用矩阵法解联立方程
逆矩阵在试卷二中重要，是因为它能用一步干净利落地解一对联立方程。取两个方程，如 3x + y = 7 和 5x + 2y = 12。
把它们写成单一矩阵方程 MX = C，其中 M 是系数矩阵 [[3, 1], [5, 2]]，X 是未知数列 [x, y]，C 是右边的列 [7, 12]。要解 X，在两边左乘 M⁻¹：因为 M⁻¹M = I，就得到 X = M⁻¹C。
所以整个方法是：建立 M、C、X；求 M⁻¹；再把 M⁻¹ 乘以 C 读出 x 和 y。顺序很重要，逆矩阵必须放在 C 的左边，绝不能放右边，因为矩阵乘法不满足交换律。
这是标准的结构题，掌握 MX = C 的写法，你就永远不会不确定下一步该做什么。
行列式：求逆前的检查
在求 2×2 矩阵 [[a, b], [c, d]] 的逆之前，先算它的行列式 ad − bc。考试公式表上印的逆公式是 A⁻¹ = (1 / (ad − bc)) × [[d, −b], [−c, a]]，而行列式就是你要除以的那个数。
若行列式为任意非零值，逆矩阵存在，继续做；若算出为零，该矩阵是奇异的，根本没有逆，因为不能除以零。所以行列式既是绿灯也是警告：先算它，只有非零才继续。
在 SPM 中，行列式为零几乎总是意味着 ad 或 bc 乘法算错，所以下结论说矩阵真是奇异之前，先重新检查那些乘积。也要注意顺序，是 ad − bc，不是 bc − ad 或 ad + bc，弄错会让整个逆矩阵的符号颠倒。
一道考试式例题
这个例子走一遍完整的试卷二流程：行列式、逆矩阵，以及用逆矩阵解联立方程。
- （a）以 a = 3、b = 1、c = 5、d = 2，行列式为 ad − bc = (3)(2) − (1)(5) = 6 − 5 = 1。
- （b）逆公式给出 M⁻¹ = (1 / (ad − bc)) × [[d, −b], [−c, a]] = (1/1) × [[2, −1], [−5, 3]]。
- 所以 M⁻¹ = [[2, −1], [−5, 3]]。
- （c）把方程写成 M[x, y] = [7, 12]，所以 [x, y] = M⁻¹[7, 12] = [[2, −1], [−5, 3]] × [7, 12]。
- 第一行：x = (2)(7) + (−1)(12) = 14 − 12 = 2。
- 第二行：y = (−5)(7) + (3)(12) = −35 + 36 = 1。
- 所以 x = 2、y = 1。
- 代回原方程检查：3(2) + 1 = 7 ✓，5(2) + 2(1) = 10 + 2 = 12 ✓。
如何复习本章
学习矩阵
常见问题
本章如何考
SPM 数学通过 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 考查本章，依据上述 DSKP 内容标准。试卷二为步骤给分，因此写出每一步很重要。
要避开的常见错误
矩阵相乘顺序反了（顺序有影响）; 逆公式里的符号错误; 试图对行列式为零的矩阵求逆.
本章在考试中提供的公式
是的，Inverse of a 2x2 matrix 出现在考试提供的公式表上。本章其余内容需自行掌握。
什么时候能把两个矩阵相加，什么时候能相乘？
只有同阶矩阵，行列数相同，才能逐元素相加或相减。要相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
所以 2×2 乘 2×1 可以，得到 2×1，但 2×1 乘 2×2 不行。
相乘时为什么不能随便调换顺序？
因为矩阵乘法用第一个的行去乘第二个的列，AB 和 BA 组合的是不同的数，通常结果不同，有时 BA 甚至无定义。务必保持题目设定的顺序。
解方程时，逆矩阵放左边：X = M⁻¹C，绝不是 CM⁻¹。
如果行列式算出来是零怎么办？
那么该矩阵没有逆，称为奇异矩阵，不能用逆矩阵法，因为那会除以零。在 SPM 中行列式为零通常意味着算术出错，所以先重新检查 ad − bc。
若确实为零，方程组没有唯一解。
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)· SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)