矩阵 · 2.2.5
2×2矩阵的逆矩阵
学生要理解方阵A的逆矩阵(记作A⁻¹)是满足AA⁻¹ = A⁻¹A = I的矩阵。对于2×2矩阵[[a, b], [c, d]]，其逆矩阵可用公式1/(ad − bc) × [[d, −b], [−c, a]]求得，前提是行列式ad − bc不等于零。
官方学习标准 (2.2.5)
“说明逆矩阵的意义，并据此求出2×2矩阵的逆矩阵。”
它的含义
学生要理解方阵A的逆矩阵(记作A⁻¹)是满足AA⁻¹ = A⁻¹A = I的矩阵。对于2×2矩阵[[a, b], [c, d]]，其逆矩阵可用公式1/(ad − bc) × [[d, −b], [−c, a]]求得，前提是行列式ad − bc不等于零。
如何考查
求2×2矩阵的逆矩阵是纸卷二的核心技能，通常作为一道题目的第一部分，随后要求学生利用该逆矩阵解联立线性方程；纸卷一则可能直接考查逆矩阵的计算，或要求判断逆矩阵何时不存在。
例题
求矩阵 A = [[3, 1], [2, 1]] 的逆矩阵。
- 求行列式：ad − bc = (3×1) − (1×2) = 3 − 2 = 1
- 由于行列式为1（不为零），逆矩阵存在。
- 交换a与d，并将b、c取相反数：[[1, −1], [−2, 3]]
- 除以行列式：A⁻¹ = 1/1 × [[1, −1], [−2, 3]] = [[1, −1], [−2, 3]]
资料来源:DSKP KSSM Mathematics Form 4 and 5 (Versi English)
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常见问题
如果行列式ad − bc等于零会怎样？
该矩阵没有逆矩阵，称为奇异矩阵。由于不能除以零，公式无法使用，因此也无法用矩阵法解由该矩阵构成的联立方程。
为什么要交换a和d，并把b、c取相反数？
这种重排配合除以行列式，正是使A乘以该新矩阵得到单位矩阵I所必需的操作。它来自2×2矩阵逆矩阵的通用公式，只需牢记即可。
如何检查我求出的逆矩阵是否正确？
将原矩阵A与你求得的逆矩阵相乘，如果结果是单位矩阵[[1, 0], [0, 1]]，说明逆矩阵正确。考试中时间允许时，值得做这一步快速检查。