矩阵 · 中五

矩阵：常见错误

在矩阵中悄悄丢分的错误，以及在 SPM 考试中如何逐一避开。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

以我们教矩阵的经验，大多数失分来自少数反复出现的小错，而非不理解。以下就是这些错误及其纠正。

要避开的错误

学生写法：对 M = [[4,3],[2,5]] 写成 M⁻¹ = (1/14)[[4,-3],[-2,5]]。→ 为何扣分：他们把 b 和 c 取了负，却忘了对调对角线上的 4 和 5。→ 正确做法：先对调，再取负：M⁻¹ = (1/14)[[5,-3],[-2,4]]。
学生写法：解 AX = B 时算成 X = BA⁻¹。→ 为何扣分：顺序很重要，而且对 2×1 的 B，把它放左边根本不符合相乘条件。→ 正确做法：从左边乘，X = A⁻¹B。
学生写法：3 × [[1,2],[4,5]] = [[3,2],[4,5]]。→ 为何扣分：数乘必须乘遍每个元素，不只是左上角。→ 正确做法：3 × [[1,2],[4,5]] = [[3,6],[12,15]]。
学生写法：[[1,2],[3,4]] × [[5,6],[7,8]] = [[5,12],[21,32]]。→ 为何扣分：那是逐元素相乘，不是矩阵乘法。→ 正确做法：行乘列：[[1·5+2·7, 1·6+2·8],[3·5+4·7, 3·6+4·8]] = [[19,22],[43,50]]。
学生写法：[[4,3],[2,5]] 的行列式 = 4·5 + 3·2 = 26。→ 为何扣分：行列式是 ad − bc，是相减，不是相加。→ 正确做法：4·5 − 3·2 = 20 − 6 = 14。
学生写法：题目要最终的数值逆矩阵，他们却把答案搁在 (1/14)[[5,-3],[-2,4]]。→ 为何扣分：最终形式必须把分数分配到每个元素。→ 正确做法：(1/14)[[5,-3],[-2,4]] = [[5/14, -3/14],[-1/7, 2/7]]。

注意，上面六个错误中的大多数损坏的不是一个数，而是后面每一个数值。这正是逆矩阵成为本章危险区的原因：一个只构造一次、却要重复使用三次的矩阵。

只要在那一行上把“对调”、“负号”和“相乘顺序”都做对，整道题往往就顺了。

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这一章里哪一个失误扣分最多？

解 AX = B 时相乘顺序弄反，把 X = A⁻¹B 写成 X = BA⁻¹。因为逆矩阵必须放在 B 的左边，一旦弄错，即使前面每一步都完美，最终答案也会全错，所以这一失误往往一下子就丢掉最多的分数。

如果行列式算错了，那一小题的分会全丢吗？

通常不会全丢。SPM 阅卷常给“跟随分”：如果你的方法正确，只是行列式的数值算错，后面正确地使用了这个错误数值的步骤仍能拿到方法分。

你损失的是准确分。所以要把每一步清楚写出，不要直接跳到最终矩阵。

怎样才能不在逆矩阵里出现符号错误？

先把调整后的矩阵单独写出来：对调对角线，再把非对角线那一对取负。单独盯着这四个数，确认两个负号都在正确位置后，才把 1/行列式附上去。

把“模式”和“分数”分成两个清楚的阶段来处理，就能消除大部分符号错误。