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矩阵 · 中五

矩阵：练习题

矩阵 的原创 SPM 风格练习题，每题附完整解答，试卷一选择题与试卷二结构题。

由 spmmath.com.my 编辑团队撰写。

矩阵 的原创练习题，仿 数学试卷一（客观题） 与 数学试卷二（主观题） 的风格。每题都有解答，方便你检查方法而不只是结果。

选择题（试卷一风格）

题 1

矩阵 P = [ 1 4 -2 ; 0 3 5 ]。P 的阶是多少？

  1. A. 2 × 3
  2. B. 3 × 2
  3. C. 6
  4. D. 5

题 2

计算 [ 6 -1 ; 3 5 ] − [ 2 4 ; -1 2 ]。

  1. A. [ 4 -5 ; 4 3 ]
  2. B. [ 4 3 ; 2 7 ]
  3. C. [ 8 3 ; 2 7 ]
  4. D. [ 4 -5 ; 2 3 ]

题 3

已知 M = [ 3 -1 ; 0 4 ]，求 −2M。

  1. A. [ -6 2 ; 0 -8 ]
  2. B. [ -6 -2 ; 0 -8 ]
  3. C. [ 6 -2 ; 0 8 ]
  4. D. [ -6 2 ; -2 -8 ]

题 4

计算 [ 2 1 ; 0 3 ] × [ 1 -2 ; 4 1 ]。

  1. A. [ 6 -3 ; 12 3 ]
  2. B. [ 2 -2 ; 0 3 ]
  3. C. [ 6 3 ; 12 -3 ]
  4. D. [ 3 -1 ; 4 4 ]

题 5

求 [ 5 3 ; 2 4 ] 的行列式。

  1. A. 14
  2. B. 26
  3. C. −14
  4. D. 16

题 6

[ 4 3 ; 1 1 ] 的逆矩阵是：

  1. A. [ 1 -3 ; -1 4 ]
  2. B. [ 4 -3 ; -1 1 ]
  3. C. [ 1 3 ; 1 4 ]
  4. D. [ -1 3 ; 1 -4 ]

题 7

矩阵 [ 3 k ; 2 4 ] 没有逆矩阵。求 k 的值。

  1. A. 6
  2. B. 8
  3. C. −6
  4. D. 2

题 8

矩阵 P 的阶为 3 × 2，矩阵 Q 的阶为 2 × 5。乘积 PQ 的阶是多少？

  1. A. 3 × 5
  2. B. 5 × 3
  3. C. 2 × 2
  4. D. 未定义

题 9

若 [ x+1 3 ; 2 y−2 ] = [ 4 3 ; 2 5 ]，求 x + y 的值。

  1. A. 10
  2. B. 8
  3. C. 6
  4. D. 12

题 10

联立方程 2x + 3y = 12 与 x − y = 1 可写成矩阵形式为：

  1. A. [ 2 3 ; 1 -1 ][ x ; y ] = [ 12 ; 1 ]
  2. B. [ 2 1 ; 3 -1 ][ x ; y ] = [ 12 ; 1 ]
  3. C. [ 2 3 ; 1 -1 ][ 12 ; 1 ] = [ x ; y ]
  4. D. [ x y ][ 2 3 ; 1 -1 ] = [ 12 ; 1 ]

结构题（试卷二风格）

题 1 (4 分)

已知 P = [ 1 0 ; 2 -3 ] 及 Q = [ 3 4 ; -1 5 ]。 (a) 求矩阵 2P + Q。

(b) 求 Q 的行列式。

  1. (a) 将 P 乘以标量 2：2P = [ 2 0 ; 4 -6 ]。
  2. 把 2P 与 Q 的对应元素相加：2+3=5，0+4=4，4+(−1)=3，−6+5=−1。
  3. 所以 2P + Q = [ 5 4 ; 3 -1 ]。
  4. (b) 对于 Q = [ a b ; c d ]，行列式 = ad − bc = (3×5) − (4×(−1)) = 15 + 4 = 19。

题 2 (4 分)

已知 M = [ 3 2 ; 5 4 ]。 (a) 求 M 的行列式。

(b) 由此求逆矩阵 M⁻¹。

  1. (a) 行列式 = ad − bc = (3×4) − (2×5) = 12 − 10 = 2。
  2. (b) [ a b ; c d ] 的逆矩阵为 (1÷行列式)[ d -b ; -c a ]。
  3. 交换 a 与 d，b 与 c 取负：[ 4 -2 ; -5 3 ]。
  4. 乘以 1÷2：M⁻¹ = ½[ 4 -2 ; -5 3 ] = [ 2 -1 ; -2.5 1.5 ]。

题 3 (5 分)

用矩阵（逆矩阵）法解联立方程 2x + 3y = 12 与 x − y = 1。

  1. 写成矩阵形式：[ 2 3 ; 1 -1 ][ x ; y ] = [ 12 ; 1 ]。
  2. 系数矩阵的行列式 = (2×(−1)) − (3×1) = −2 − 3 = −5。
  3. 逆矩阵 = (1÷(−5))[ -1 -3 ; -1 2 ]。
  4. 所以 [ x ; y ] = (1÷(−5))[ -1 -3 ; -1 2 ][ 12 ; 1 ]。
  5. 计算乘积列：(−1×12)+(−3×1) = −15，(−1×12)+(2×1) = −10。
  6. 则 [ x ; y ] = (1÷(−5))[ -15 ; -10 ] = [ 3 ; 2 ]。

题 4 (6 分)

已知 A = [ 3 -1 ; 2 1 ]。 (a) 求 A 的行列式。

(b) 求 A⁻¹。 (c) 由此，用 A⁻¹ 解 3x − y = 5 与 2x + y = 10。

  1. (a) 行列式 = ad − bc = (3×1) − ((−1)×2) = 3 + 2 = 5。
  2. (b) 逆矩阵 = (1÷5)[ d -b ; -c a ] = (1÷5)[ 1 1 ; -2 3 ]。
  3. (c) 方程给出 A[ x ; y ] = [ 5 ; 10 ]，所以 [ x ; y ] = A⁻¹[ 5 ; 10 ]。
  4. [ x ; y ] = (1÷5)[ 1 1 ; -2 3 ][ 5 ; 10 ]。
  5. 乘积列：(1×5)+(1×10) = 15，(−2×5)+(3×10) = 20。
  6. 所以 [ x ; y ] = (1÷5)[ 15 ; 20 ] = [ 3 ; 4 ]。

资料来源:SPM: Format Pentaksiran mulai 2021, Matematik (1449)

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常见问题

矩阵专题的第一卷和第二卷题目是如何安排的？

第一卷是选择题，考查矩阵加法、减法、乘法的快速运算，以及判断某个矩阵是否是给定矩阵的正确逆矩阵。第二卷是结构式作答题，通常要求你先求出矩阵的逆矩阵，再利用它来解一对联立线性方程，过程需要完整写出。

为什么要先自己作答矩阵题，再看示范解答？

矩阵运算有严格的顺序，行乘列的对应关系、行列式里正负号的处理，只有自己动手做一遍，才能发现自己到底在哪一步出错。如果不经过自己摸索就直接看最终答案，乘法顺序弄错这种习惯是不会被纠正过来的。

矩阵题学生常犯的错误有哪些？

常见错误是矩阵相乘时顺序搞反了，因为矩阵乘法不满足交换律；另外，写逆矩阵公式时，行列式的位置也常常放错。学生在求2乘2矩阵的伴随矩阵时，也常常把该互换位置的两个元素弄错，导致最后算出来的逆矩阵不正确。

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