矩阵
如何求 2×2 矩阵的逆
用 2×2 矩阵的逆来解以矩阵形式写出的一对联立方程。
开始之前
- 求 2×2 矩阵的行列式 ad − bc
- 把 2×2 矩阵乘以一个数和乘以一列
- 处理分数
何时使用
用 2×2 矩阵的逆来解以矩阵形式写出的一对联立方程。
步骤
- 对矩阵 [[a, b], [c, d]]，先算行列式 ad − bc。
- 若行列式为零，停止，无逆。
- 交换 a 与 d，并改变 b 与 c 的符号。
- 把新矩阵乘以 1 除以行列式。
- 要解方程，把这个逆乘以常数列。
例题
求 M = (2 1; 3 2) 的逆矩阵。
- 对 (a b; c d)，a = 2，b = 1，c = 3，d = 2，行列式 = ad − bc = 2×2 − 1×3 = 4 − 3 = 1。
- 行列式是 1，不为零，所以逆矩阵存在。
- 交换 a 和 d，并改变 b 和 c 的符号：(2 −1; −3 2)。
- 乘以 1 ÷ 行列式 = 1 ÷ 1 = 1，保持不变。
- 所以逆矩阵是 (2 −1; −3 2)。
第二个例题（略有变化）
行列式是 5，不是 1，所以逆矩阵带有分数，而且用来解一组联立方程。 用逆矩阵解 2x + y = 5 和 x + 3y = 10。
- 写成矩阵形式 (2 1; 1 3)(x; y) = (5; 10)，所以 a = 2，b = 1，c = 1，d = 3；行列式 = 2×3 − 1×1 = 6 − 1 = 5。
- 行列式是 5，不为零，所以逆矩阵存在。
- 交换 a 和 d，并改变 b 和 c 的符号：(3 −1; −1 2)。
- 乘以 1 ÷ 5：逆矩阵是 (1/5)(3 −1; −1 2)。
- 用逆矩阵乘以列 (5; 10)：(1/5)(3×5 + (−1)×10; (−1)×5 + 2×10) = (1/5)(5; 15) = (1; 3)，所以 x = 1，y = 3。
你可能需要的公式
A-1 = 1/(ad−bc) × [[d, −b], [−c, a]]
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常见问题
如果行列式是零怎么办？
那矩阵没有逆矩阵，称为奇异矩阵。不能除以零，所以无法求逆。
对联立方程来说，这通常表示两条方程没有唯一解：可能无解，或有无穷多解。一看到行列式为零就停下。
哪些数要交换，哪些要变号？
交换主对角线上的两个数 a 和 d，即左上和右下。然后把另外两个 b 和 c 变号，但不移动位置。
可用检查：把逆矩阵乘以原矩阵，应得到单位矩阵 (1 0; 0 1)。
为什么逆矩阵能解方程？
把方程写成 M 乘以列 (x; y) 等于常数列，就能两边同乘 M⁻¹。因为 M⁻¹ 乘 M 是单位矩阵，左边只剩 (x; y)。
所以逆矩阵乘常数列就直接给出 x 和 y 的值。